第17讲圆锥曲线的基本问题.pdf

第 17 讲 圆锥曲线的基本问题 四，课外练习 x2 y2 1.已知三个数2,m,8构成一个等比数列,那么圆锥曲线 + =1的离心率 m 2 为 . 【解析】由题意m2=2×8=16,故m=±4.若m=4,则曲线为焦点在x轴上的椭圆,离心 4-2 2 42? 率e= = ;若m=－4,则曲线为焦点在y轴上的双曲线,离心率为e= = 4 2 2 3 . 2.若在平面直角坐标系xOy中,双曲线C的离心率为 2 ,且过点(1, 2 ),则双曲线C 的标准方程为 . 【解析】因为双曲线的离心率e= 2 ,所以双曲线为等轴双曲线.设双曲线方程 为x2－y2=m,则由点(1, 2 )在双曲线上得1－2=m=－1,故所求的双曲线方程为y2－ x2=1. 1 x2 y2 3. 若抛物线x= y2的准线与双曲线 － =1的右准线重合,则m的值 m 12 4 是 . x2 y2 a2 12 m 【解析】 － =1的右准线为x= = =3,所以抛物线y2=mx的开口向左,－ 12 4 c 4 4 =3,解得m=－12. x2 y2 4.已知椭圆C: + =1,点M与椭圆C的焦点不重合.若点M关于椭圆C的焦点的对 9 4 称点分别为点A,B,线段MN的中点在椭圆C上,则AN+BN= . 【解析】取MN的中点为G,点G在椭圆C上.设点M关于椭圆C的焦点F1的对称点 1 1 为A,点M关于椭圆C的焦点F2的对称点为B,则有GF1= AN,GF2= BN,所以 2 2 AN+BN=2(GF1+GF2)=4a=12. x2 y2 5. 如图,已知A,B,C是椭圆 + =1(ab0)上的三点,其中点A的坐标为(2 a2 b2 3 ,0),BC过椭圆的中心,且 AC ·BC =0,| BC |=2| AC |,那么椭圆的标准方程 为 . (第 5 题) 【解析】因为| BC |=2| AC |,直线BC过点(0,0),则| OC |=| AC |.又因为 AC ·BC x2 y2 =0,所以∠OCA=90°,即C( 3 , 3 ).又因为a=2 3 ,所以椭圆方程为 + =1,把点 12 b2 x2 y2 C的坐标代入上式,得b2=4.所以椭圆的方程为 + =1