第三章平面问题的基本理论.ppt
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空间问题的数学描述 第三章 平面问题的基本理论 因为板面上不受力,所以 由于剪应力互等,有 平面应变问题 由对称条件可知, 根据剪应力互等, 由虎克定律,得出 在弹性力学里分析问题,要从三个方面来考虑:静力学方面、几何学方面和物理学方面。 首先考虑平面问题的静力学方面,根据平衡条件来导出应力分量与体积力分量之间的关系式,也就是平面问题的平衡微分方程。 根据微元体处于平衡的条件,可以得到三个平衡微分方程。 (二)x方向的合力为零,即 x方向PA的正应变 PA与PB所夹直角的改变,即剪应变 由两部分组成:x方向线素PA向y方向的转角,记为 ,和 y方向线素PB向x方向的转角,记为 ,即 综合以上所列各式,得出平面问题的几何方程式 应变分量与应力分量之间的关系,即物理方程,也称为本构方程。 平面应力问题的物理方程 可以看出,在平面应力问题的物理方程中,将 E 换为 引入记号 用应力、应变、位移分量表示的基本方程 其中矩阵 [D] 称为弹性矩阵或应力应变关系转换矩阵 这样,用应力、应变和位移分量表示的弹性力学平面问题基本方程可以表示为 这样,用应力和应变分量表示的弹性力学平面问题基本方程可以表示为 所以,平面问题的应力边界条件 人们研究了局部区域上力的作用方式对于弹性力学解答的影响问题,提出了圣维南原理: 如果把物体的某一局部(小部分)边界上作用的表面力改变其分布方式,但保持静力上的等效(即主矢量相同,对于同一点的主矩也相同),则近处的应力分布将有显著的改变,而远处的应力改变极小,可以忽略不计。 对于局部区域受一平衡力系作用时,圣维南原理还可叙述如下: 如果物体某一局部(小部分)边界表面承受的表面力是一平衡力系(即主矢量和主矩都为零),这个平衡表面力所产生的扰动只限在局部,即只在受力附近产生显著的应力,随着远离受力位置应力迅速衰减甚至消失。 第三章 平面问题的基本理论 按位移求解 将几何方程 代入,得 将平面问题几何方程中?x对 y的二阶导数和?y对x的二阶导数 相加,得到 按位移求解平面应力问题 第三章 平面问题的基本理论 § 2-7 圣维南原理 应用圣维南原理,绝对不能离开 “ 静力等效 ” 的条件。 第三章 平面问题的基本理论 第三章 平面问题的基本理论 § 2-8 求解平面问题的基本方法 在弹性力学里求解问题,有三种基本方法:按位移求解,按应力求解和混合求解。 按位移求解时,以位移分量为基本未知函数,由一些只包含位移分量的微分方程和边界条件求出位移分量以后,再用几何方程求出应变分量,从而用物理方程求出应力分量。 按应力求解时,以应力分量为基本未知函数,由一些只包含应力分量的微分方程和边界条件求出应力分量以后,再用物理方程求出应变分量,从而用几何方程求出位移分量。 在混合求解时,同时以某些位移分量和应力分量为基本未知函数,由一些只包含这些基本未知函数的微分方程和边界条件求出这些基本未知函数以后,再用适当的方程求出其它的未知函数。 在平面应力问题中,物理方程是 求得应力分量 第三章 平面问题的基本理论 再将上式代入平衡微分方程 简化后,得到用位移表示的平衡微分方程 第三章 平面问题的基本理论 代入应力边界条件 简化后,得到用位移表示的应力边界条件 对于平面应变问题,须在上面的各个方程中将 E 换为 ,将 ? 换为 第三章 平面问题的基本理论 按应力求解 — 变形协调方程或相容方程 对于平面应力问题,将物理方程代入变形协调方程,得到 利用物理方程将变形协调方程中的应变分量消去,使之只包含应力分量(基本未知函数)。 第三章 平面问题的基本理论 利用平衡微分方程,将上式简化为只包含正应力而不包含剪应力。将平衡微分方程写成如下形式 将前一方程对x求导,后一方程对y求导,然后相加,并注意 得 代入,简化后,得到平面应力问题的相容方程 将 ? 换为 ,可得到平面应变问题的相容方程 第三章 平面问题的基本理论 小结 位移分量须满足 边界条件 在 上 在 Su 上 平衡微分方程 对于按位移求解平面应变问题,须在上面的平衡微分方程和边界条件中将 E 换为 ,将 ?换为
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