第节 矩阵多项式.ppt

第五节 矩阵的最小多项式 定义 设p（z）是复数域上的多项式 性质 设 p（z)是复数域上的多项式， 化零多项式 设p（z）是复数域上的多项式，A是n阶矩阵，如果 p(A)=0, 则称p（z）是矩阵A的化零多项式 Hamilton-Cayley定理 设A是n阶矩阵，f（?）是A的特征多项式，则 f(A)=0 最小多项式 设A是n阶矩阵，称A的首项系数为1，次数最小的化零多项式为A的最小多项式。 最小多项式的性质 （1）矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除。 （2）相似矩阵有相同的最小多项式。 （3）矩阵A的特征多项式与最小多项式有相同的根。 推论 （1）矩阵A的最小多项式是唯一的。 （2）如果矩阵A的特征多项式无重根，则矩阵A的特征多项式与最小多项式相同。 定理 设A是n阶矩阵，A的特征多项式为 推论 A的相应于特征值?i?的次数最大的初等因子为 例 求A的最小多项式 解2 矩阵A的特征多项式为 由于A的特征多项式与最小多项式有相同的根 故A的最小多项式具有下列形式为 解3 矩阵A的特征矩阵的伴随矩阵为 B(?)的各元素的最高公因式为?+1, * * 主要内容： 1·矩阵多项式及其性质 2·化零多项式与Hamilton-Cayley定理 3·矩阵的最小多项式及求法 称p(A)为矩阵多项式, am是首项系数，m是次数. 则 即：若 为矩阵A的特征值，则 为 的特征值。 例 设J是n阶Jordan 块矩阵，主对角元为?0? 则J的化零多项式为 P( ?) = (?- ?0?)n 证明 ,??, 该定理表明任何方阵的特征多项式是该矩阵的化零多项式 证明 将A的特征多项式改写为 设A的Jordan标准形为 其中，Ji为Jordan块 且设 则有 例 设 由A的特征多项式为 则一定有 Hamilton-Cayley定理 设A是n阶矩阵，f（?）是A的特征多项式，则f(A)=0 例：设 求 证明A可逆, 并将其逆表示为A的多项式，其中 提示：矩阵A的特征多项式为 则由带余除法得 又由 从而 由 知， 则 例：主对角元为?0?的n阶Jordan 块J的最小多项式为 P( ?) = (?- ?0?)n 例：主对角元为?0?的n阶Jordan形 J=diag (J1, J2, …, Js )的最小多项式为 P( ?) = (?- ?0?) k 其中k是J的Jordan块 Ji 的最大阶数。 证明 分别是矩阵A的最小多项式和化零多项式， 由最小多项式的定义可知 利用多项式的带余除法知，存在多项式 使得 （1）设 由于 ，则 又 是矩阵A的最小多项式，而 因此 ，即 矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除。 则A的最小多项式为 A的Jordan 标准形为 J= diag (J1, J2, …, Js ) 其中Ji= diag (Ji1, Ji2, …, Jini ) 是特征值为?i?的Jordan 形，n ik是J ik的阶数 则A的最小多项式为 1·设A是n阶矩阵，A 的谱为{?1, ?2，…, ?s?} 2·分块对角矩阵A=diag(A1,A2,…,AS)的最小多项式等于其诸 对角块的最小多项式的最小公倍数。 3·设 则A的最小多项式为A的第n个不变因子。 4.设A是n阶矩阵，B(?)是特征矩阵?I-A的伴随矩阵，d(?)是B(?)中各元素的最高公因式，则A的最小多项式为 解1 矩阵A的特征矩阵为 (?+1)2 A的第3个不变因子为(?+1)2 ,则A的最小多项式为 并求 ?（ ? ）= (?+1)k , k =1或2或3 经验证可得(A+I)2=0,且A+I不为零，所以A的最小多项式为 ?（ ? ）= (?+1)2 又A的特征多项式为(?+1)3 =(?+1)2 A的最小多项式为