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The relationship between the characteristic polynomial polynomial of a matrix 矩阵的特征多项式与最小多项式的关系 组员：邵宇洁、颜小惠、陈杭宇、仇璐珺、丁李强目录 第1章 摘要（关键词） 1 第2章 矩阵的特征多项式 2 2.1 定义： 2 2.2 性质： 2 第3章 最小多项式 3 3.1 定义： 3 3.2 性质： 3 第4章 矩阵的特征多项式与最小多项式的关系 8 4.1 应用： 8 4.2 最小多项式的由来： 8 4.3 两者之间的联系： 8 第5章 结束语 12 第6章 参考文献 12 摘要（关键词） 矩阵的特征多项式和最小多项式在矩阵相似、若当标准形、矩阵函数和矩阵方程中都有很重要的作用。本文先从目前已有的矩阵的满秩分解入手，通过特征矩阵入手分解求出矩阵的特征多项式，再根据最小多项式的定义得出最小多项式的几个性质，最后通过已有的性质入手 探讨了最小多项式和特征多项式的一些关系及通过特征多项式求最小多项式的方法。 【关键词】矩阵 特征值 特征向量 特征多项式 最多项式  矩阵的特征多项式 定义： 设A是数域P上的一个n级矩阵，(是一个数字，矩阵(E-A的行列式 称为A的特征多项式，这是数域P上的一个n次多项式。 例： 设，求A是我特征多项式与特征向量。 解：， 特征值 。 时， 计算可得 属于的所有特征向量为，。 其他几个也用类似方法可以计算得到其相应的特征向量。 性质： 1．特征多项式的根就是矩阵的特征值。 2．若矩阵A相似于矩阵B，则A ，B有相同的特征多项式。 证明：。 注意：这个性质的逆是不对的，特征多项式相同的矩阵不一定相似，例如 ，，它们的特征多项式都是，但和B不相似，和A相似的 矩阵只能是A本身。 3．设A为n级矩阵 ， 特征多项式 最小多项式 定义： 设在数域P上的以A为根的多项式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称为A的最小多项式。 性质： 1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的. 证：设 都是A的最小多项式， 由带余除法，可表成 其中 或 。 于是有， 。 由最小多项式的定义， ， 即，， 同理可得，。 ，又都是首1多项式， ，。 2.（引理2）设　　 是矩阵A的最小多项式， 则 以为根。 证：充分性显然，只证必要性。 由带余除法，可表成， 其中或， 于是有， 。 由最小多项式的定义，， 。 由此可知： 若是的最小多项式，则整除任何一个以为根的多项式，从而整除为根的多项式，从而整除的特征多项式，矩阵的最小多项式是的特征多项式的一个因子。 3.矩阵的最小多项式是的特征多项式的一个因子。 例1、数量矩阵 kE的最小多项式是一次多项式 特别地，单位矩阵的最小多项式是，　 零矩阵的最小多项式是。 反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则A一定是数量矩阵。 例2、求的最小多项式。 解：A的特征多项式为 又， A的最小多项式为。 4. 相似矩阵具有相同的最小多项式。 证：设矩阵A与B相似，，分别为它们的最小多项式， A相似于B，存在可逆矩阵T , 使， 从而 也以B为根，从而。 同理可得， 又，都是1的多项式，。 注：反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似。 如： 的最小多项式皆为，但A与B不相似。 ， ， 即，，所以，A与B不相似。 5.（引理3）设A是一个准对角矩阵 并设的最小多项式分别为。 则A的最小多项式为的最小公倍式。 证：记，， 首先，，即A为的根。 所以被A的最小多项式整除。 其次，如果， 则 ， 从而 。 。 从而 。 故为A的最小多项式。 推广：若A是一个准对角矩阵 且的最小多项式为， 则A的最小多项式是为。 特别地，若两两互素， 即， 则A的最小多项式是为。 6.（引理4） 级若当块， 的最小多项式为 证：J的特征多项式为， 。 而 ， ， 。 的最小多项式为。 7.（定理13）与对角矩阵相似 的最小多项式是上互素的一次因式的积。 证：由引理3的推广，必要性显然. 只证充分性。 根据矩阵与线性变换之间的对应关系， 设上线性变换在某一组基下的矩阵为， 则的最小多项式与的最小多项式相同,设为， 则。 若为P上互素的一次因式的乘积： 则， 其中。 （此结论的证明步骤同定理12） 把各自的基合起来就是V的一组基， 在这组基中，每个向量都属于某个，即是的特征向量. 所以,在这组基下的矩阵为对角矩阵，从而A相似于对角矩阵。 8、与对角矩阵相似的最小多项式没有重根。 矩阵的特征多项式与最小多项式的关系 应用： 方阵的最小多项式和特征多项式是线性代数中的一个