第章 各向异性弹性力学基础.ppt

第二章 各向异性 弹性力学基础 §2.1 各向异性弹性力学 基本方程 工程应力 工程应变 几何关系方程 变形协调方程 （1） 变形协调方程（2） 平衡方程(物体内部的平衡条件) 应力边界条件(物体边界部分的平衡条件) fx =?xl + ?yxm +?zxn fy = ?xyl + ?ym +?zyn fz = ?xzl + ? yzm + ?zn 物理方程 物理方程 §2.2 2.2.1 具有一个弹性对称面的材料 2.2.2 正交各向异性材料 2.2.3 横观各向同性材料 2.2.4 各向同性材料 2.2.1有一个弹性对称面的材料 2.2.1有一个弹性对称面的材料 此时：z=-z’，w=-w’，（新旧坐标系）　 2.2.1有一个弹性对称面的材料 2.2.1 有一个弹性对称面的材料 2.2.2正交各向异性材料 2.2.2正交各向异性材料 2.2.3横观各向同性材料 2.2.3横观各向同性材料 又设某点应力状态：?1= ? ， ?2= －? ， ?4= ?5＝ ?6，有 2.2.3横观各向同性材料 2.2.3横观各向同性材料 2.2.4各向同性材料 2.2.4各向同性材料 2.2.4各向同性材料 §2.3 §2.3 正交各向异性材料的 工程弹性常数 2.3.1 2.3.1 2.3.1 2.3.2 2.3.2 2.3.2 3° 因为[S]是对称的，所以 对于各向同性材料： E0，G0 , -1?1/2 对于各向异性材料，考虑到应变能W0，所以[C]和[S]必须正定。 一般Ei?Ej，所以，?ij ? ?ji 。 因此共有九个参数。 矩阵正定的定义： 特征值都大于零的实对称矩阵。 充分必要条件： 所有主子式都大于零 Ai0(i=1,2?6) 主子式： 在[S]（或[C]）中任意取第i1,i2,i3, ?ik行和i1,i2,i3, ?ik列交点处的元素构成的行列式称为矩阵 [S]（或[C]）的主子式。 * * §2.2 各向异性弹性体的本构关系 §2.1 各向异性弹性力学基本方程 §2.3 正交各向异性材料的工程弹性常数 回总目录 各向异性弹性力学基本方程包括： §2.1(1) 1°工程应力方程 2°工程应变方程 3°平衡方程 4°几何关系方程 5°变形协调方程 6°物理方程 　　6个应变分量是通过3个位移分量表示的，因此， 6个应变分量不是互不相关的，之间存在必然联系： 　（1）已知3个位移分量，解唯一； 　（2）已知6个应变分量，如何？方程个数超过未知数个数，解不唯一。 6个变形协调方程，其中只有3个独立。 意义：分割成无数个小6面体，每个小单元体发生变形。如果应变分量不满足协调方程，则变形后，不能将小单元体拼合成连续体，产生小裂缝。为使变形后连续，应变分量必须满足协调方程。因此变形协调方程是保证物体连续的一个必要条件。 对于单连通物体，变形协调方程也是保证物体连续的充分条件。 注：以上关系与各向同性体相同 (本构关系) Hooke 定理： 记作{?}=[C]{?}， [C]—刚度矩阵，可以证明， [C]是对称矩阵，因此它只有21个独立变量。如何证明？ 同样， [S]也是对称矩阵，它也有21个独立变量。 同样，可用应力分量表示应变分量： [S]＝[C]-1—柔度矩阵。 §2.2 各向异性弹性体的  本构关系 §2.2 §2.2 应变势能密度为： 如取xoy坐标面与弹性对称面平行，取A与A’为相互对称点，则它们的弹性性能相同。即将z轴转到z’轴时，应力应变关系不变。 　　如果物体内每一点都有这样一个平面，在此平面的对称点上弹性性能相同，这样的材料就具有一个弹性对称面。弹性主轴概念。 其余应变分量不变　 为保证W值不变,将含有?xz和?yz(?4与?5)一次项的Cij置为零，只剩下13个独立变量。 13 同理： 如果具有三个正交弹性对称面，则： 9 只有九个独立系数 重要性质，正剪无耦合 各向同性面—在该平面内，各点的弹性性能在各方向上相同。 假定：1，2，3都是弹性 主轴，1－2面是各向同性面。 则：S11=S22， S13=S23， S44=S55， C11=C22，C13=C23， C44=C55 将1、2坐标轴在面内转450到1 ’ 、2’，则?1’= ?2’＝ ?3’＝0， ?6’ ＝?1’2’＝－ ?， ?2