第三篇-各向异性弹性力学基础.ppt

第三章 各向异性弹性力学基础 * * §3-1 各向异性弹性力学基本方程 基本未知量： 基本方程： 1、平衡方程 分量形式为： 2、几何关系（小变形） 分量形式为： 变形协调方程：六个应变分量应该满足的一个关系，即 6个独立等式： 共有81个方程，但只有6个是不同的，其余的不是恒等式就是由于?ij的对称性而都是重复的。 前三个分别是xy，yz，zx平面内的3个应变量间的协调关系；而后三者则分别是正应变和3个切应变之间的协调关系。 3、边界条件 力边界条件： 位移边界条件： 4、各向异性本构方程（小变形） 刚度矩阵 柔度矩阵 各向异性体的弹性应变能为： 拉-拉耦合（泊桑效应） 剪-剪耦合 拉剪耦合 §3-2 各向异性弹性力学的本构方程 一、完全各向异性（21个弹性常数） 其中Sij为柔度系数，?4、?5和?6即为剪应力?23、?31和?12。可见各向异性体一般具有耦合现象：正应力引起剪应变，剪应力也可以引起正应变；反之亦然。 二、有一弹性对称面（13个弹性常数） 弹性对称面：沿这些平面的对称方向弹性性能是相同的。 材料主轴（或弹性主轴）：垂直于弹性对称面的轴。 利用两个方向下材料的应变能密度表达式应保持不变（即利用两个坐标系计算得到的单位体积应变能的结果是相同的）可以推得： 设仅有 ，即有 而 在x3变向时要变号，为保证W相同， 则有 同理： 独立常数减少为13个，即 如果 ，其余应力分量为零，则有： 此公式说明：当沿弹性主轴拉伸时，除纵向伸长、横向收缩外，还会引起与主轴垂直的面内剪应变，且弹性主轴方向不变。 三、正交各向异性（9个弹性常数） 正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴的情况。（有三个互相正交的弹性对称面） 取 为三个正交弹性主轴，如图所示： 由a）、b）两坐标系中计算的应变能应该相同，而在两坐标系下： （即 ）变号，可得： 即： 由此可得：1）当采用材料主轴来描述正交异性体时，没有任何拉剪耦合现象；2）在非材料主轴系里，正交异性材料仍有耦合现象。 纤维在横截面内按矩形排列的单向纤维复合材料，宏观而言则是一正交异性体。共有9个弹性常数： 1轴沿纤维方向，并有 ，而是 即 没有对称性。 可展开为： 四、横观同性（5个弹性常数） 纤维在横截面内随机排列的，宏观而言，其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为各向同性，则有 故只有5个独立常数： （或 ）， （或 ） 由工程应变形式的展开式为： 即： 五、各向同性（2个弹性常数） 六、弹性常数的取值范围 判定依据是非零应力状态下，材料的弹性应变能位正值，应变能应是应变（或应力）的正定二次型。 为 的正定二次型的充要条件是矩阵 的所有主要主子式大于零，即： *