2020版高考数学一轮复习第9讲离散型随机变量的均值、方差和正态分布.docx

第 9 讲 离散型随机变量的均值、方差和正态分布 [ 考 解 ] 1. 理解取有限个 的离散型随机 量的均 、方差的概念，并能根据分布列正 确求出期望与方差，并能解决一些 ． ( 重点、 点 ) 借助直方 正 分布曲 的特点及曲 所表示的意 ，掌握正 曲 的相关性 ，并能 行正确求解． [ 考向 ] 从近三年高考情况来看，本 是高考中的 点 型 . 2020 年将会考 ： ①与分布列相 合求期望与方差，通 置密切 近 生活的情景，考 概率思想的 用 意 和 新意 ；②正 分布的考 ，尤其是正 体在某一区 内的概率 . 型 解答 中的一 ， 度不会太大，属中档 型 . 1．离散型随机 量的均 与方差 若离散型随机 量 X 的分布列 X x1 x2 ?xi ?xn P p1 p2 ?pi ?pn 01 i i n n (1) 均 ：称 ( ) ＝□ 1 1＋ 2 2＋?＋ ＋?＋ 随机 量 的均 或数学期望， x p x p X E X x p x p 它反映了离散型随机 量取 的□ 02平均水平． n 2pi 随机 量 (2) D( X) ＝ ( xi － E( X)) X 的方差，它刻画了随机 量 X 与其均 E( X) i ＝ 1 03 D X 随机 量 X 的 准差． 的□ 平均偏离程度，其算 平方根 2．均 与方差的性 (1) 01 E( aX＋ b) ＝□ aE( X) ＋ b； (2) 02 2 a，b 常数 ) ． D( aX＋ b) ＝□ a D( X)( 3．两点分布与二 分布的均 、方差 4．正 曲 1 正态曲线的定义 x－ μ 2 － 函数 ( 1 2σ2 ， ∈( －∞，＋∞ ) ，其中实数 和 ( 0) φ ) ＝ e μ σ μ ，σ 2π· σ 为参数，称 φμ， σ ( x) 的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线 ( μ 是正态分布的期望， 是正态分布的标准差 ) ． 正态曲线的特点 ①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； ②曲线是单峰的，关于直线□ 01x＝ μ 对称； 02x μ 1 ③曲线在□ ＝ 处达到峰值 ； σ 2π ④曲线与 x 轴之间的面积为 1； ⑤当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移； ⑥当 μ 一定时，曲线的形状由 03 σ 越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分 σ 确定，□ 04σ 布越集中；□ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 5．正态分布 正态分布的定义及表示 如果对于任何实数 a，b( ab) ，随机变量 X 满足 P( aX≤ b) ＝ bφμ ，σ ( x)d x( 即 x＝ a，x a b，正态曲线及 x 轴围成的曲边梯形的面积 ) ，则称随机变量 X 服从正态分布， 记作 X～N(μ， σ2 ) ． 正态分布的三个常用数据 01 ①P(μ－σ X≤μ＋σ ) ＝□ 0.6826 ； ②P(μ－ 2σX≤μ＋ 2σ) ＝□020.9544 ； ③P(μ－ 3σX≤μ＋ 3σ) ＝□030.9974. 1．概念辨析 随机变量不可以是负数，随机变量所对应的概率可以是负数，随机变量的均值不可 以是负数． () (2) 正态分布中的参数 μ 和 σ 完全确定了正态分布，参数 μ 是正态分布的期望，σ 是正态分布的标准差． ( ) 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准 差越小，则偏离均值的平均程度越小 . ( ) 一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它 就服从或近似服从正态分布． ( ) 答案 (1) × (2) √ (3) √ (4) √ 2．小题热身 (1) 已知随机变量 X 的分布列为 2 X －2 0 2 P 1 1 1 3 3 3 则 E( X) 与 D( X) 的值分别为 ( ) A．0,2 B ．0， 8 8 ，0 C ．2,0 D. 3 3 答案 B 解析 ( ) ＝( －2)× 1＋0× 1＋2× 1＝ 0， ( ) ＝ ( － 2－ 0) 2× 1＋(0 －0) 2×1＋ (2 － E X 3 3 3 D X 3 3 2 1 8 0) ×3＝ 3. (2) 设 ξ ～(，)，若 ( ξ ) ＝15， ( ξ ) ＝ 11.25 ，则 n ＝ () B n p E D A．45 B ．50 C ．55 D ．60 答案 D E ξ ＝ np＝ 15， p＝0.25 ， 解析 由 ＝ np 1－ p ＝ 11.25 解得 n＝60. D ξ ， A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析 先求出 1 1 1 1 ( ) ＝(