有限差分法求解薛定谔方程_宫建平.pdf.doc

第 31 卷第 3 期 晋 中 学 院 学 报 Vol.31 No.3 2014 年 6 月 Journal of Jinzhong University Jun. 2014 有限差分法求解薛定谔方程 宫建平 （晋中学院 信息技术与工程学院，山西晋中 030600） 摘 要：量子力学中大多数量子体系的哈密顿算符都比较复杂, 所以人们提出了用有限差 分法求解薛定谔方程的本征值问题, 但有限差分法得到的解并非都是给定势函数下束缚态的 解, 本文讨论了有限差分法所有解中满足属于给定势函数下束缚态解的条件。 关键词：有限差分法；本征值；波函数 中图分类号：O413.1 文献标志码：A 文章编号：1673-1808（2014）03-0001-06 引言 在量子力学中, 对于一些简单的量子体系, 如一维无限深势阱、线性谐振子、氢原子等体系的薛定谔方 程可以严格求解, 得到描述体系的精确的状态波函数和能量. 但大多数量子体系的哈密顿算符都比较复杂, 薛定谔方程一般得不到精确的解析解，有时能级可以给出解析表达式，但却无法得到波函数的解析表达式. 因此,研究和发展薛定谔方程的计算方法就具有重要的意义. 由于有限差分法可以处理在几乎所有形式的势能函数中运动的粒子, 并且因为计算主程序并不依赖 于势能函数的具体形式，因此可以进行相对精确的计算, 对于确定量子体系的束缚态能级和相应的波函数 是一种非常有效的计算方法. 近年来人们对有限差分法求解本征值问题进行了研究[1~2], 但由于有限差分法 求解的边界条件是假设计算区间的端点的波函数为零, 这相当于在区间端点加上一无穷高的势垒, 所以解 总是存在的, 但这里给出的解并不一定是原来给定势下的束缚态的解. 本文对这一问题进行详细的讨论. 1 束缚态薛定谔方程的有限差分算法 根据有限差分法中的二阶微分中心差分算符可以将一维薛定谔方程写作 -Rψm-1 +αm ψm -Rψm+1 = Eψm . （1） 2 其中 R = 攸 ，αm = 2R+V( xm )， （2） 2 2μ( △x ) 当取 m = 0，1，2，3，…，M. 并且注意到满足条件 ψ0 = ψM = 0，则由（1）式得到一系列线性方程式，这样将 本征值方程离散化为矩阵方程 Sψ = Eψ. （3） !α -R 0 0 … 0 0 0 $ ! ψ $ 1 1 % % -R α2 -R 0 … 0 0 0 % ψ2 % 其中 S = 0 -R α -R … 0 0 0 % ψ % （4） % % 3 ，ψ = 3 … … … … …… … … … % % 0 0 0 0 … -R αM-2 % % -R % ψM-2 % 0 0 0 0 … 0 -R α % ψ % # M-1 # M-1 ［收稿日期］2014-02-17 ［作者简介］宫建平（1958-），男，山西榆次人，晋中学院信息技术与工程学院，教授，研究方向：凝聚态物理.  · 1 · 宫建平 有限差分法求解薛定谔方程 我们将相对复杂的方程就转化为矩阵 S 的对角化问题, 利用计算机数值计算可以容易将矩阵 S 的本 征值和本征函数同时求出. 我们以线性谐振子为例讨论, 线性谐振子的能量本征值方程为 2 2 2 （5） 攸 d ψ μω 2 2 + 2E- x 2ψ = 0 . 2μ dx 2 为方便起见，引入