专题17 最值模型之垂线段最短、将军饮马及造桥选址模型（解析版）.pdf

专题17最值模型之垂线段最短、将军饮马及造桥选址模型（解析版）

模型一垂线段最短模型

典例1（2023春•莲湖区期中）如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上

的一个动点，若PH＝3，则PQ长的最小值为（）

A．1B．2C．3D．4

【思路引领】当PQ⊥OA时，PQ有最小值，利用角平分线的性质可得PH＝PQ＝5，即可解答．

【解答】解：如图：

当PQ⊥OA时，PQ有最小值，

∵OC平分∠AOB，PH⊥OB，PQ⊥OA，

∴PH＝PQ＝3，

∴PQ长的最小值为3，

故选：C．

【总结提升】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅

助线是解题的关键．

针对练习

1．（2023秋•通州区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，CD是△ABC的一条高线．若E，F

分别是CD和BC上的动点，则BE+EF的最小值是（）

A．6B．32C．33D．3

【思路引领】作B关于CD的对称点B′，过B′作B′F⊥BC于F交CD于E，则B′F的长度即为

1

BE+EF的最小值，根据直角三角形的性质得到BD=CD，根据已知条件得到BB′＝BC，推出△CDB

2

3

=3

≌△BB′F，于是得到B′F＝CDBC＝3．

2

【解答】解：作B关于CD的对称点B′，过B′作B′F⊥BC于F交CD于E，

则B′F的长度即为BE+EF的最小值，

∵∠ABC＝60°，CD⊥AB，

∴∠BCD＝30°，

1

∴BD=CD，

2

1

∵BD=BB′，

2

∴BB′＝BC，

在△CDB与△B′FB中，

∠=∠

∠=∠，

=′

∴△CDB≌△BB′F，

3

=3

∴B′F＝CDBC＝3．

2

故选：C．

【总结提升】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的

性质证明BE+EF的最小值为B′F的长度．

2．（2022春•临湘市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，BD

＝3，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（）

A．1B．2C．2.5D．5

【思路引领】作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝2，然后根据垂线段最短求解．

【解答】解：作DH⊥AB于H，如图，

∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，

∴DH＝DC＝2，

∵Q为AB上一动点，

∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．

故选：B．

【总结提升】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段

最短．

3．（2023•龙岩模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，点E，F分别在AD，AB

上，则BE+EF的最小值是（）

A．4B．4.8C．5D．5.4

【思路引领】作F关于AD的对称点M，连接BM交AD于E，连接EF，过B作BN⊥AC于N，根据三

线合一定理求出BD的长和AD平分∠BAC，根据勾股定理求出AD，根