9-1常数项级数的概念及性质.ppt

第一节 1.定义： 例2. 讨论等比级数 性质2. 设有两个收敛级数 性质3. 性质4. 例7 判断级数的敛散性: 例5.证明调和级数 是发散的 . 微积分虽然是研究函数的有力工具, 本章主要研究无穷多个数、函数相加的问题. 如 工具就是无穷级数. 有限形式. 导数的和. 无穷小的和仍是无穷小; 限性, 如:有限个 即一般要求问题本身具有有限形式. 但也有其局 有限个函数和的导数等于 不具有 有些函数的原函数不是初等函数, 本章将借助于新的工具来研究函数, 这个 引例： 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 边形, 这个和逼近于圆的面积 A . 设 a0 表示 即 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 边形面积为 无穷级数 无穷级数 常数项级数 幂级数 第九章 主要研究无限个量相加的问题，包括 无限个数和无限个函数相加的问题 。 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 第九章 给定一个数列 将各项依 即 称为（常数项）无穷级数. ⑴第 n 项 叫做级数的一般项. ⑵级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加所构成的式子： 其中 几个概念： ⑶称 为级数的部分和数列. 简记为 一、常数项级数的概念 无穷多个数相加的含义是什么? 即 则称级数 收敛， 极限s 称为该级数的和， 并记作： 如果部分和数列 极限不存在， 则称级数 发散， 或者称该级数没有和. 2.级数的收敛与发散： 有极限s, 如果级数 部分和数列 注意： (1)常数项级数收敛(发散) 存在(不存在). 即数列 收敛(发散) 收敛与发散二者必居其一. (2)给定一个级数， 级数收敛时才有和，发散时就没有和. 即数列 有(没有)极限. 数列收敛，则它的任意子数列都收敛 余项 (3)如果级数 收敛于s， s 叫级数的和. 即 这时： 其误差为 显然 存在 3.级数的敛散性举例： 解： 所以级数的部分和为： 例1. 判断级数 的敛散性. 所以原级数发散. (又称几何级数) 解： 收敛 发散 当 时， 当 时， 发散 的敛散性. 级数变为 因此 n 为奇数 n 为偶数 从而 不存在 , 因此级数发散. 综上 当 时， 当 时， 收敛， 发散， 收敛； 收敛； 发散； 发散. 如： 其和为1. 级数变为 解 已知级数为等比级数， 解： 所以级数的部分和为： 例3. 判断级数 的敛散性. 所以原级数发散. 注意： 判断敛散性的方法： (1)找 (2)求极限 定义法 解： 例4. 判断级数 的敛散性. 若收敛,求其和s. 所以级数收敛， 和 s =1. 即 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 解 例5. 二、无穷级数的基本性质（常数项级数 函数项级数都使用） 性质1. 若级数 收敛于 s , 则各项 乘以常数 c 所得级数 也收敛 , 证: 令 则 这说明 收敛 , 其和为 c s . 即 其和为 c s . 结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 发散级数没有可比性 敛散性相同 即 则级数 也收敛, 其和为 证: 令 则 这说明级数 也收敛, 其和为 结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 说明: (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 必发散 . 但若二级数都发散 , 不一定发散. 例如, (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .也说明加法的交换律及结合律在级数收敛的条件下是成立的. (用反证法可证) 即 收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散， 发散+发散就不一定发散 如 求级数 的和. 解 由性质1知 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 证: 将级数 的前 k 项去掉, 的部分和为 数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为 极限状况相同, 故新旧两级 所得新级数 时， 说明: (1) 收敛 收敛 (2) 类似地 可以证明在级数前面加上、改变有限项不影响级数 的敛散性， 但影响收敛级数的和. 2.级数的敛散性和前有限项没有关系. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 证: 设收敛级数 若按某一规律加括弧, 则新级数的部分和序列 为原级数部分和 序列 的一个子序列, 因此必有 例如 收敛 加括号后收敛 注意 即收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛 发散 1、(逆命题不一定成立)加括号后的级数收敛，原 级数不一定收敛. 解: 考虑加括号后的级数 发散, 从而原级数发散 . 例7