复变函数第四版课件--章节1.3[精心整理].ppt

1、复数的乘积与商 2、复数的乘幂 3、复数的方根 §3 复数的乘幂与方根 定理1：两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 证明 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2) 1、复数的乘积与商 因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2 几何意义：将复数z1按逆时针方向旋转一个角度，Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。 o x y (z) z1z2 z2 要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1. 例1：设z1=-1, z2=i,则z1z2=-i 解： 定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。 证明： ? Argz=Argz2-Argz1 即： 由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2 ∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z1≠0） 设z=re iθ，由复数乘法定理和数学归纳法可证明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ。 2、复数的乘幂 定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂，记作z n，即z n=z?z???z（共n个）。 定义 特别：当|z|=1时，即zn=cosnθ+isin nθ，则有(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ -----棣模佛(De Moivre)公式。 问题 给定复数z=re i ?，求所有的满足ωn=z 的复数ω。 3、复数的方根 当z≠0时，有n个不同的ω值与 相对应，每一个这样的ω值都称为z 的n次方根， 当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现。 几何上， 的n个值是以原点为中心， 为半径的圆周上n个等分点。 x y o 例2：求