7、方程类经济数学模型.ppt

在自然科学、生物科学和经济与管理科学的许多实际问题 中，常常需要寻求某些变量之间的函数关系。其中大多数函数 关系不能由问题的实际意义直接确定，这时常常根据实际需要 或已知条件建立数学模型。微分方程就是最常用的数学模型之 一。 这一章介绍微分方程和差分方程的一些基本知识，包括它 们的概念与解法。我们学习的重点是微分方程和差分方程的求 解。 §7.1 从新产品销售模型谈起 问题：售出产品对销售速度的影响。 假设： t时已售出的产品数为x t ； 每一个已售出的新产品在单位时间内平均吸引r个顾 客。 从销售量为的那时刻算起，即x 0 x0。 模型： 结果：x x0ert 。 分析：当通过努力已有x0的产品投入使用，这时函数 x t x0ert在开始的阶段能较好地反映真实的销售情况。 x t x0ert的局限： 取t 0表示新产品诞生的时刻，即x 0 0，这时销售函 数为x t 0，显然不符合事实。 在x t x0ert中，若令t→+∞，则有x t →+∞，这也与 事实不符。 模型修正： x t 应该有一个上界。设需求量的上界为K，则尚未使用新 产品的户数为K-x t 。 重建模型： 结果： 定义 此函数的图像称为增长曲线或Logistic曲线。 分析 讨论销售量增长速度的变化。 §7.2 微分方程的基本概念 定义 含有自变量、未知函数以及未知函数的导数 或微 分 的函数方程称为微分方程。 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程； 未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程。 例 下列微分方程 中 是常微分方程， 是偏微分方程。 定义 微分方程中所含未知函数的导数 或微分 的最高阶 数称为微分方程的阶。 例 下列微分方程 中 是一阶微分方程， 是二阶微分方程。 n阶常微分方程的一般形式为： 定义 若在n阶常微分方程F x,y,y, …,y n 0中，函数F是 x、y、y、…、y n 的线性函数，则称此方程为线性 常 微分方 程。不是线性微分方程的微分方程称为非线性 常 微分方程。 例 微分方程 中 是线性微分方程， 是非线性微分方程。 线性微分方程的一般形式为： y n +a1 x y n-1 +…+an-1 x y+an x y f x 其中ai x 、f x 为已知。 定义 对方程F x,y,y,…,y n 0，即 若函数y f x 满足F x,f x , f x ,…,f n x ≡0，则称f x 为 此微分方程的 显式 解。 若由Φ x,y 0确定的隐函数是微分方程的解，则称之为 此微分方程的隐式解。 例 证明由 x+y ex-y C C为任意常数 确定的隐函数是微分 方程 1+x+y dx+ 1-x-y dy 0的隐式解。 定义 对一般的n阶微分方程，要写出它的所有的解需用 n个常数，带有n个常数的解称为n阶微分方程的通解或一般 解或所有解。 定义 微分方程的每个 不含任意常数 的解称为其特解。 为得到特解而给出的一些未知函数应该满足的条件，称 为定解条件。 求微分方程满足某个定解条件的解的问题称为定解问题； 最常用的定解条件是给出函数及其导数在某在某一点 的值，这样的定解条件称为初始条件。 求微分方程满足某个初始条件的解的问题称为初值问题。 §7.3 一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式： F x,y,y 0 其中F为已知函数。 一阶微分方程的标准形式： y f x,y 或M x,y dx+N x,y dy 0 其中f、M、N为已知函数。 一阶微分方程的初始条件： y x0 y0 一、可分离变量方程 定义 形如 y f x g y 或M1 x N1 y dx+M2 x N2 y dy 0 的方程称为可分离变量方程。 方法：分离变量法 把含自变量x的式子 包括dx 放在方程的一边，把含因变 量y的式子 包括dy 放在方程的另一边，然后积分。