(九年级圆周角定理、垂径定理.doc

辅导讲义 年 级：初三的定义 思考： ； 点P在圆上 ； 点P在圆外 . 思考：等圆的概念的定义半径相等 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，求∠ACD的度数． 例2：点和圆的位置关系 题 知识点2：圆中的基本线段定义题 知识点3： 1：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 2：圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半． A．AB＝2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定 解析　取的中点E，连接AE、BE，由题意知＝＝，∴AE＝BE＝CD.在△ABE中，AE＋BE＞AB，即2CD＞AB. 答案　C 点评　同圆或等圆中，等弧对等弦．但不能把这一结论推广成弧与所对的弦成正比例关系． 检测1：如图，△ABC内接于⊙O，∠A=30°，若BC=4cm，则⊙O的直径为（　　） 　 A． 6cm B． 8cm C． 10cm D． 12cm 例2：如图，已知的半径为，是直径同侧圆周上的两点，的度数为，的度数为，动点在上，求的最小 解：连接DC′， 根据题意以及垂径定理， 得弧C′D的度数是120°， 则∠C′OD=120度． 作OE⊥C′D于E， 则∠DOE=60°，则DE=R，C′D＝R 测试题2 ：已知：如图，是的直径，点是半圆上一个三等分点，点是的中点，是上一动点，的半径为，则的最小值是_____________． 例1：如图，AB是半圆的直径，D是的中点，ABC＝40°，求A的度数． 解　连接BD.D是的中点， ＝.ABD＝CBD＝ABC＝20°. AB是半圆的直径，ADB＝90°. 又ABD＝20°，A＝180°－ABD－ADB＝70°. 点评　(1)构造直径所对的90°圆周角是解决与圆相关问题的常用辅助线，这样为勾股定理的运用、相似三角形的产生创造了条件． (2)“90°的圆周角所对的弦是直径”是确定一个圆的圆心的重要方法．ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=140°，则∠DCE= . 例3 ：已知：如图，为的直径，交于点，交于点． （1）求的度数； （2）求证：． 例4：如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长． 相等 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为______． ，直径半径,D 上一点， ,足分别为求长。 例3：用于几何证明 已知：如图，BD、CE是△ABC的高，试说明点Ｂ、C、D、E在同一个圆上． 二、专题精讲 垂径定理 点评　图形位置关系的确定是几何的重要方向，应考虑到图形的所有可能情况，全面地思考问题． 例2：几何证明 如图①，点O是∠RPS的平分线PQ上一点，以O为圆心的圆分别交角的两边于A，B和C，D，PQ交⊙O于E，F. (1)求证：PB＝PD； (2)若⊙O逐渐向左移动，当点P与点O重合时，如图②所示，PB＝PD成立吗？若⊙O继续向左沿直线PQ移动，直至点P与点F重合时停止(除去点P与点F重合时的情况)，PB＝PD仍成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 解析　(1)过O分别作OM⊥PR于点M，ON⊥PS于点N，易得OM＝ON，由弦心距相等可得弦相等，即AB＝CD，再由垂径定理可得结论；(2)开始点P在线段OE上，但不与点O，E重合(如图①所示)，再向左移动，点O与点P重合(如图②所示)，再移动，点P在线段OF上，但不与点O，F重合(如图③所示)． 证明　(1)过点O分别作OM⊥PR于点M，ON⊥PS于点N. 又∵PQ平分∠RPS，∴OM＝ON. ∴AB＝CD，Rt△POMRt△PON.∴PM＝PN. 由垂径定理可得BM＝AB，DN＝CD. 又∵AB＝CD，∴BM＝DN.∴PM＋BM＝PN＋DN，即PB＝PD. (2)当点P与点O重合时，如图②所示，显然有PB＝PD. 当点P在线段OF上(不与点O，F重合)时，如图③所示． 过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥CD于点N.证法同(1)，可证PB＝PD. 点评　解决这类问题的关键是要动中求静，静中思动，使一般问题从特殊情况中寻找规律、得出结论． 例3：实际应用 如图所示，已知油面宽AB＝300mm，弓形APB的高PQ＝225mm，求油槽的内径及油的最大深度． 解析　油