理论力学习题解答.docx

8.5 习题解答 8-1 质量 m＝6kg 的小球，放在倾角 ?＝30?的光滑面上，并用平行于斜面的软绳将小球固定在图示位置。如斜面以 a＝ 13 g 的加速度向左运动，求绳之张 力 FT 及斜面的反力 FN，欲使绳之张力为零，斜面的加速度 a 应该多大？ a FT ? mg  FN （a） （b） 题 8-1 图 解：研究小球，受力图如图示，由牛顿第二定律 x : m a ? FN sin 30 ? FT cos30 y : 0 ? FN cos30 ? FT sin 30 ? m g a ? 13 g, m ? 6 kg，解得 FN ＝60.72N FT ＝12.43N 若绳子张力为零，即 FT ＝0，则方程为 ma ? FN sin 30 0 ? FN cos30 ? mg 解得 a＝0.577g 8-2 质量 m＝2kg 的物块 M 放在水平转台上，物块至铅直转动轴的距离 r ＝1m，如图示。令转台从静止开始匀加速转动，角加速度 ?＝0.5rad/s2。如物块与转台间的摩擦系数 f＝ 13 ，试求：(1)物块在转台上开始滑动的时间。(2)t＝2s 时，物块所受的摩擦力为多大？ a? O an M r （a） （b） 题 8-2 图 解：（1）研究物块 M，加速度方向如图示，则 a ? a? ? a n a ? (a? )2 ? (a n )2 a? ? ? r ? 0.5m/s 2v ? at ? ? rt a n ? v 2 ? ? 2 rt 2 ? 0.25t 2 r 由牛顿第二定律 ma ? ?F 则 m (a? )2 ? (an )2 ? f ? F ? f ? m g N 0.52 ? 0.252 t 4 ? 93.8 t＝3.59s 当 t≥3.59s 时，物块开始滑动。 （2）研究物块 M，由牛顿第二定律 ma ? ?F 则 F ? m (a? )2 ? (a n )2 ? m 0.52 ? 0.252 t 4 当 t＝2s 时 ?2.236N 8-3 图示套管 A 的质量为 m，受绳子牵引沿铅直杆向上滑动。绳子的另一 段绕过离杆距离为 l 的定滑轮 B 而缠在鼓轮 O 上。鼓轮匀速转动，其轮缘各点的速度为 ?o，求绳子拉力 FT 与距离 x 之间的关系。定滑轮的外径比较小，可视 为一个点。 l B ? FT x FN A O FP x （a） （b） 题 8-3 图 解：由几何关系 AB 2 ? l 2 ? x2 (1) 两边求导，得 2 AB dAB ? 0 ? 2x dx (2) dt dt d2 AB ? dAB ?2 d2 x ? dx ?2 2 AB ? 2? ? ? 2x ? 2? ? dt 2 dt 2 ? dt ? ? dt ? 其中 dAB ? ?v d 2 AB ? 0 0 dt dt 2 2 d 2 x ? dx ?2 ? v0 ? x ? ? ? (3) dt 2 ? dt ? 由(1)、(2)、(3)得 d 2 x l 2 v02 ? ? dt 2 x3 研究套管 A，受力图如图示，由牛顿第二定律 m d2 x ? F ? F sin ? dt 2 P T 其中 sin? ? x l 2 ? x 2 ? d2 x ? 1 ? l 2v2 ? l 2 ? x2 ? FT ? ?FP ? m ? ? ?m g ? m ? dt 2 ? x 3 x ? ? sin ? ? ? m?g ? l 2v02 x?3 ? ? l ?2 1 ? ? ? ? x ? 8-4 半径为 r 的偏心轮绕 O 轴匀速转动，角速度为 ?，推动导板沿铅直轨 道运动，如图示。导板顶部放置一质量为 m 的物块 A。设偏心距 OC＝e，开始 OC 连线为水平线。试求：(1)物块对导板的最大压力，(2)使物块不离开导板的 ? 的最大值。 mg A aA B t FN （a） （b） 题 8-4 图 解：（1）以物块 A 为研究对象，则动力学方程为 maA ? FN ? mg (1) 由于 y A ? AB ? r ? e cos ?t a A ? y A ? ?e? 2 cos ?t 代入(1)式得 FN ? mg ? me?2 cos?t 当 cos? t＝－1 时为极大值 FNm a x? (mg ? me?2 ) ? m(g ? e?2 ) （2）若使物块 A 不离开导板，则条件为 FN≥0 即 mg ? me? 2 cos?t ? 0 当 cos? t＝1 时为最小值 mg ? me?m2 a x? 0 得 ?max ? g e 8-5 物块 A、B 的质量分别为 m1＝20kg 和 m2＝40kg，用弹簧相连，如图示。物块 A 沿铅直线以 y ? H cos 2