2013版高中全程复习方略配套课件：2.10函数模型及其应用(人教A版·数学理)浙江专用.ppt

自建函数模型解决实际问题 【方法点睛】 建立函数模型解决实际问题的步骤 (1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质； (2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题； (3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题； (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论． 【例3】(2012·北京模拟)某特许专营店销售上海世博会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需要向上海世博局交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时，该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元，则增加销售400枚；而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元. (1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y（元）与每枚纪念章的销售价格x元之间的函数关系式（并写出这个函数的定义域）; (2)当每枚纪念章销售价格x为多少时，该特许专营店一年内利润y（元）最大，并求出这个最大值. 【解题指南】(1)首先应根据题意确定出销售价格x的取值范围;再分别求出减少,增加一元时的销售利润,从而得到一年所得利润y(元)的函数关系式. (2)根据函数关系式的结构特征，选择适当的求最值方法求解. 【规范解答】(1)依题意销售价格x∈(7,40)，即定义域为(7,40)，而当7＜x≤20，x∈N+时， 则增加销售400(20-x)枚, 故其一年内销售所获得利润为 y=［2 000+400(20-x)］(x-7); 当20＜x＜40，x∈N+时，则减少销售100(x-20)枚. 故其一年内销售所获得利润为 y=［2 000-100(x-20)］·(x-7)， 综上得:y= (2)因为y= 若7＜x≤20,则当x=16时,ymax=32 400(元). 若20＜x＜40,则当x=23或24时, ymax=27 200(元). 综上可得当x=16时，该特许专营店获得的利润最大,为32 400元. 【反思·感悟】解决这类问题常见的两个误区 (1)不会将实际问题转化为函数模型，从而无法求解. (2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件. 【变式训练】(2012·西安模拟)据气象中心 观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南 方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的 函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km). (1)当t=4时,求s的值; (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场沙尘暴 是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由. 【解析】(1)由图象可知:当t=4时,v=3×4=12, ∴s= ×4×12=24(km). (2)当0≤t≤10时,s= ·t·3t= , 当10＜t≤20时，s= ×10×30+30(t-10)=30t-150; 当20＜t≤35时，s= ×10×30+10×30+(t-20)×30- ×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550. 综上，可知s= (3)∵t∈［0,10］时,smax= ×102=150＜650, t∈(10,20］时，smax=30×20-150=450＜650, ∴当t∈(20,35］时，令-t2+70t-550=650. 解得t1=30,t2=40.∵20＜t≤35,∴t=30. ∴沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城. 【变式备选】某公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后的市场销售进行调研，结果如图(1)、(2)所示．其中(1)的抛物线表示的是市场的日销售量与上市时间的关系；(2)的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系． (1)写出市场的日销售量f(t)与第一批产品A上市时间t的关系式； (2)第一批产品A上市后的第几天，这家公司日销售利润最大，最大利润是多少? 【解析】(1)设f(t)=a(t-20)2+60,由f(0)=0可知a= ,即f(t)= (t-20)2+60= t2+6t(0t≤40,t∈N); * 第十节 函数模型及其应用 三年9考 高考指数:★★★ 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征. 2.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题. 1.函数模型的应用是高考考查的重点. 2.建立函数模型解决实际问题是高考命题的热点，常与导数、均值不等式、