第七章 鞅和鞅表示.ppt

右连续鞅轨迹 轨迹被偶然的跳跃所干扰，从而使轨迹成为右连续。即在跳跃点是鞅右连续。 时间 图2 连续平方可积鞅 设 是一连续鞅，且具有有限二阶矩： 则称具有有限方差的过程 为连续平方可积鞅。 注 连续平方可积鞅非常接近于布朗运动。 例1 构造一个具有两个相互独立泊松过程的鞅 假设金融市场由“好”和“坏”的消息影响。忽略消息内容，但保留其好或坏的信息。且用 假定到达金融市场的信息与过去完全无关，并且好、坏信息是完全独立的。 假定在一微小间隔 内至多有一个好或坏信息能发生，并且这两种信息发生的概率一样。 即增量变化的概率可表示为 则变量 是鞅 证明 则条件期望 其中 故 即 是鞅。 说明 假设好消息的概率比坏消息的概率大， 则 就不是鞅。 若 则 故 不是鞅。 二、鞅轨迹的特征 定义轨迹的变化 观察 重要特征 首先 即 由于 意味着 有 又因为 即有 故 由于 故有 1 变化 会趋向于无穷大并且连续鞅会变得非常不规则 二次变化 收敛于一定义的随机变量 2 3 所有更高级变化在一些概率情形下会消失 意味着更高级变化并不包括比 更多的信息，即如果人们确信标的的过程是连续鞅，则更高级变化可被忽略。 意味着无论轨迹如何不规则，鞅是平方可积且小于间隔的增量的平方和是收敛。即能被用于一有意义的等式。 意味着在连续平方可积鞅中不是非常有用的实用的量。 鞅 轨 迹 特 征 第四节 鞅举例 布朗运动 例1 即 若增量 相互独立， 则有 问 是鞅吗？ 由于 即 则在给出的概率分布以及到时间 t 观察到的信息 的期望 故 不是鞅。 * 第六章 鞅和鞅表示 第一节 离散鞅 第二节 连续时间鞅 第三节 鞅轨迹的特征 第四节 鞅举例 第五节 鞅表示 第一节 离散鞅 一、离散鞅的定义及性质 定义1 （1） （2） 离散鞅序列， 简称为鞅(martingale)。 注 无后效性 鞅的直观背景解释 设想赌徒在从事赌博过程中，他在第n年的赌本为 表示在已知前n年的赌本 的条件下，第n+1年的平均赌本。 而鞅 则表示这种赌博使第n+1年的平均赌本仍为第n年的赌本，这种赌博称为公平赌博。 定义2 （1） （2） 简称 为鞅 （3） 定理1 充分性显然 证 必要性用归纳法来证 由假设知 （1） 则有 性质1 常数序列 为鞅。 证 性质2 即 证 依次递推，可得 例1 令 且对任意 有 证 由条件期望的性质可得 且 所以 例2 令 证 （1） （2） 所以 定义3 （1） （2） 简称 为上鞅 （3） 二、上、下鞅的定义及性质 类似 下鞅 关于上、下鞅的的直观解释： 上鞅表示第n+1年的平均赌本不多于第n年的赌本，即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博； 下鞅表示第n+1年的平均赌本不少于第n年的赌本，即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博。 性质3 为鞅的充分必要条件是， 既为上鞅也为下鞅。 性质4 上鞅 下鞅 下鞅 上鞅 性质5 上鞅 下鞅 证明 同定理1类似。用数学归纳法 性质6 上鞅 下鞅 证 由性质5得 上鞅 上鞅 性质7 、 上鞅 下鞅 、 下鞅 证 上鞅 上鞅 性质8 上鞅 下鞅 证 下鞅 下鞅 上鞅 由性质4及性质7立即可得结果 性质9 鞅 下鞅 证明 例3 设{ ， }是在直线上整数点上的贝努利随机游动，即它是一个以 为状态空间的时齐的马尔可夫链，它