高中数学1—7—2定积分在物理中的应用.ppt

1.7.2　定积分在物理中的应用;【课标要求】 1．通过具体实例了解定积分在物理中的应用． 2．会求变速直线运动的路程、位移和变力作功问题． 【核心扫描】 　利用定积分求变速直线运动的路程、位移和变力所作的功． 　(重点);自学导引 定积分在物理中的应用;想一想：利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子 吗？ 提示　路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念，(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用 求解； (2)当v(t)0时，求某一时间段内的位移用 求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－ .;名师点睛 1．在变速直线运动中求路程、位移 路程是位移 的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b 所经过的路程S和位移S′分别为： (1)若V(t)≥0，则S＝ V(t)dt，S′＝ V(t)dt. (2)若V(t)≤0，则S＝－ V(t)dt，S′＝ V(t)dt. (3)若在区间[a，c]上，V(t)≥0，在区间[c，b]上V(t)0， 则s＝ V(t)dt－ V(t)dt；S′＝ V(t)dt.;2．定积分在物理中的应用 (1)做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝ v(t)dt. (2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所作的功为W＝Fs；而若是变力所做的功W，等于其力函数F(x)在位移区间[a，b]上的定积分，即W＝ F(x)dx.;说明：做变速直线运动的物体所经过的路程s在数值上其实就是时间一速度坐标系中对应曲边梯形的面积，而变力做功实际上也是位移—力坐标系中对应曲边梯形的面积．在变力做功时，不限定F(x)为非负数，这样求出来的定积分可能为负数．当定积分为负数时，说明变力做负功，即克服变力做了功．;题型一　求变速直线运动的路程、位移 【例1】 有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求 (1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移； (2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值． [思路探索];解　(1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，当t4时，P点向x轴负方向运动． 故t＝6时，点P离开原点的路程 当t＝6时，点P的位移为;(2)依题意 (8t－2t2)dt＝0，; (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键． (2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．;【变式1】 变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置． 解　当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)0. 所以前2秒钟内所走的路程;题型二　求变力所作的功 【例2】 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功． 力F对物体所做的功为W＝F·S，求出变力F的表达式是本题中求功的关键．;【题后反思】 解决变力作功注意以下两个方面： (1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步． (2)根据变力作功的公式将其转化为求定积分的问题．;;; 因为位置决定于位移，所以它是v(t)在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在[0,4]上，哪个时间段的位移为负．; 根据速度函数v(t)确定v(t)的符号才能转化为用定积分求路程．