关于常用曲线外1点到曲线的垂足计算方法的探索1.doc

关于常用曲线外一点到曲线的垂足计算方法的探索 【摘　要】 在测量外业计算过程中，经常遇到轴线外一点到轴线垂足点的计算问题，为简化计算，本文推导出来一些常用曲线垂足点坐标的计算公式，对于椭圆曲线，无法推导出简化公式，给出了编程计算的方法。 【关键词】 常用曲线 垂足坐标 计算公式 1 引言 一般情况下，水利工程的设计图纸会给出主要建筑物轴线，若是直线，会给出直线两端的坐标及方位角或起点坐标及轴线方位角，圆曲线会给出圆心及半径或起点坐标、终点坐标及圆心，椭圆和抛物线会给出它们的方程。我们需要根据这些起算数据计算出测量点与这些轴线的相对关系，直线和圆曲线比较简单，遇到圆曲线和抛物线为设计轴线的时候，可能会觉得无处着手。比如一泄洪洞的轴线是涡奇曲线（实际是抛物线形式），设计图纸的纵剖面图如图1，轴线的抛物线方程为Y=0.0025X^2+0.1X,我们外业测出曲线外一点P（Xp,Yp）,现在需要计算P点距离涡奇曲线的垂直距离为多少？并判断P点在曲线的上边还是下边。还有一种情况，在以椭圆为中心线的双曲拱坝中，如何判定出拱圈的模板位置是否合适？即测点点位是否为设计的偏中距离。这些问题关键是求出中心线外一点到设计轴线的垂直距离。若能快速计算出中心线外一点在中心线上的垂足就能解决问题。我们分析是否可以找到一些计算公式，直接把外业测量坐标代入公式就可以求出垂足坐标？由此开始了我们的探索。 图1 2 求解 在微积分中，对应函数f(x),f′(x)的几何意义表示对应点切线的斜率，如图2所示，我们假定曲线外一点P（Xp,Yp），当过P点做到曲线的垂线,垂足点坐标为N（Xn,Yn），设P 点到N点斜率为K2，过N点的切线斜率为K1，必满足K1×K2=-1。解方程即可得到N点的X坐标Xn。利用函数方程可得y=f(x),即N点的Y坐标。根据这个思路我们分别对直线、圆曲线、抛物线、椭圆四种常用的曲线进行计算比较，求导出这些方程的一阶微分方程式，并建立并解算方程，结果如下： 直线：直线的标准形式为Y=aX+b,由两点已知坐标或已知起算点坐标和方位角都可以转化成此标准方程。对直线方程求导得 Y′=a 根据两直线斜率积为-1建立方程得 圆曲线：为了方便，以曲线起点做为坐标原点，起点的切线方向为Y轴建立施工坐标系。考虑X0的情况，得出圆曲线方程式为： 对圆曲线方程求导，得出圆曲线一阶微分方程， 由于所得图形关于Y轴对称，现在考虑曲线左偏的情形，对圆曲线上任意点N（Xn,Yn）可知经过该点切线的斜率，得到一条直线方程L1，曲线外一点P到N点也可以建立一条直线方程L2，因这两条直线的正交关系，两条斜率积为-1，可以得一方程式， 求解得Xn坐标，利用圆曲线方程，求得Yn坐标。 抛物线：抛物线方程的标准方程为，Y=ax^2+bX+c,(X=0)。求得其一阶微分方程为： Y′=2ax+b,与上面圆曲线相似，得方程式,不考虑方程虚根，方程式的解如下: 此解在H2+4F3≥0时成立。 椭圆：椭圆标准方程为X^2/a^2+Y^2/b^2=1,(a≠0,b≠0) 。因为椭圆为对称曲线，只考虑X0,Y0的情况。方程式可以写成：Y=b*(1-X^2/a^2)^0.5,求一阶导数后，得出： 建立方程式: 由于这个方程式求解后无简化解，根据编程计算中迭代计算求方程根的办法我们找到了两种办法，一种是利用卡西欧计算器中Solve 的功能，将方程式输入，求得Xn，另一种是借鉴道路计算中反算的程序，不断的循环计算A点到垂足点的距离，直到距离小???规定的小值，循环结束,因为这两种方法对直线、圆曲线、抛物线均可运用，在这里简述一下。 3 求近似解 图表  SEQ 图表 \* ARABIC 2 在图3中，A（Xa,Ya）为曲线外一点。B(Xb,Yb)为曲线上假定点。假定点B与曲线无正交关系。做出B点的切线，B点的坐标固定后切线斜率就固定了，可以构造如上图的三角形ABC。设： B点的切线方位角为α，由曲线公式，及导数方程可以求得α，Xb、Yb值。 有点到直线求Xc坐标公式可求得Xc 当Xb-Xc=0,时，B点是和曲线正交，KB=KA，Z即为A点的距中桩的距离。 当Xb-Xc≠0时，则采用Xb=Xc,对B点进行新的假定，进而再次对L进行解算，直至L值在无限接近0时,可求的Xb的近似解。 4 结语 经过对这些曲线的分析求解，我们找到了类似求根公式和迭代法解方程的办法。这些工作对我们的意义在于：首先对外业计算的效率有一定的提高，简化了编程的步骤。其次，提高了我们分析问题的能力，加深了我们对这些曲线的理解。