欧几里得算法在历史-上的不同呈现.doc

PAGE PAGE 26 欧几里得算法在历史上的不同呈现 二 国外的欧几里得算法 2.1 几何原本中的欧几里得算法 2.11 欧几里得和他的几何原本 欧几里得（Eudides 或 Eucleides，公元前三百年前后），是希腊数学家。欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作。 中国传统数学的最大特点是以算为中心，没有形成如同古希腊数学那样的公理化体系。《几何原本》开创了数学公理化的正确道路，促进了整个数学的发展。《几何原本》全书共由十三卷组成，第一卷到第六卷为平面几何学，它是由徐光启，利玛窦在1607年共同译完，明末传入我国，补救我国数学研究中的不足。第七卷到第十卷为数论，但与中算不同的是，全用几何方式来叙述。其中第Ⅶ卷命题Ⅰ就是用几何方式来叙述欧几里得算法。第十一卷到第十三卷为立体几何学。早在半个世纪以前，日本数学家小仓金之助把《九章算术》与《几何原本》进行比较，他认为《九章算术》是“中国的欧几里得”，作为东西方数学的代表作，《九章算术》与《几何原本》在数学发展史上的产生和流传有相似之处。欧几里得算法来源于《几何原本》，但欧几里得算法中算法思想却与古印度，日本，意大利，德国，以及我国古代现代许多数学研究一致。 2.12欧几里得算法 《几何原本》第Ⅶ卷命题Ⅰ中原文如下“设有不相等的二数，若依次从大数中不断地减去小数，若余数总是量不尽它前面的一个数，直到最后的余数为一个单位，则该二数互素”。 命题二中“已知两个不互素的数，求它们的最大公度数。 术文如下 设 AB,CD是不互素的两数，求 AB,CD 的最大公度数。如果 CD 量尽AB ，那么它也能量尽它自己，那么 CD 就是CD,AB 的最大公度数。且显然CD 也是最大公度数，这是因为没有比CD大的数能量尽CD ，但是，如果CD量不尽AB，那么从AB,CD 中的较大者中不断地减去较小者，如此，将有某个余数能量尽它前面的一个。这最后的余数不是一个单位，否则AB,CD 就是互素的。” 2.2印度的不定方程组问题 一次不定分析在中国，印度，古希腊数学中多有研究，特别是对印度数学家来说是非常重要的。他们非常重视一次不定分析的研究，曾一度用它来代表这门学科。 2.3日本数学家关孝和的叙述 据相关文献考证，日本数学发展是从钱明天皇时代开始的，历史记载公元554年百济有历法博士到日本传授历法。602年又有和尚关勒到日本传授天文知识。说明我国数学天文成果以朝鲜为跳板在公元六世纪已经传入日本。日本数学在发展中逐渐形成独特的体系，称为和算。日本被誉为和算之圣的数学家关孝和是数学家毛利的再传弟子。关孝和在解同余式问题中所拟题及其解法是深透的，特别是他的剩一术对秦九韶大衍求一术中划一程序的解释比黄宗宪要早一百多年。 2.31关孝和解同余式19x=1(mod 27) 关孝和用汉文写的《括要算法》卷二有剩一术，是用更想减损的方法计算同余式ax=1(mod b)的解。原文如下“今有以左一十九累加之得数，以右二十七累减之，剩一，问左总数几何？答：左总数190。” 可以看出上文是解同余式19x=1(mod 27)的问题。关孝和在解题术文中所说的解题程序如下 “以左一十九，除右二十七，得商一，不尽（余数）八为甲。 以甲不尽八，除左一十九，得商二，不尽三，为乙。 以乙不尽三除甲，不尽八，得商二，不尽三，为丙。 以丙不尽二除乙，不尽三，得商一，不尽一， 为丁，乃余一而止。” 转换成图示为 紧接着还有四句术文如下 “甲商与乙商相因，加定一，得三为子。 子与丙商相因，加甲商，得七为丑。 丑与丁商相因，加子，得一十。 以左一十九乘之，得左总数一百九十，合问。” 转换成数学语言为 2.32关孝和解同余式组 关孝和对解同余式组问题也作了深入研究。在括要算法》卷二“剪管术”中自拟辅助题“今有物不知其数，只云﹕五除余一个，七除余二个，问总数几何。”答数为十六个。这就是解同余式组 关孝和作出术文﹕“五余以二十一乘得二十一个，七余以十五乘得三十个。二位相并，共得五十一个，满三十五去之，余一十六个。” 2.32 《大成算经》之零约术 关孝和的学生建部贤明在《大成算经》卷六中所讲的零约术如下乘数三个零八厘六毛六丝一忽四微二弱，问约率几何？答：乘率三百九十二，除率一百一十七。此题术文用图示表示为 由上述图示可知，日本学者当时是用类似于中国的更相减损术来获得结果的。与世界有名的欧几里得算法在算理上是一致的。 《大成算经》卷十二圆周率以π=3.63 二十五个有效数字为基准，用更相减损术求得十二个等率 后来建部贤明的弟弟建部贤弘著《不休缀术》一书，把《大成算经》上述方法及其结果再次抄录，并说他们之所以用这种方法来计算渐进分数是厌烦其术，而且把载有这种方法的著作以祖冲之失传之书缀术命名，这就是说建部