第八章平面向量与空间向量.doc

第八章 平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学 1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量。记作-。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知，。在平面内任取一点，作=，=，则向量叫做与的和。记作+。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知，。在平面内任取一点O，作=，=，则向量叫做与的差。记作-。　　　 实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，并规定：　 λ的长度|λ|=|λ|·||； 当λ＞0时，λ的方向与的方向相同 当λ＜0时，λ的方向与的方向相反 当λ＝0时，λ= 实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μ)=(λμ)  ②(λ+μ) =λ+μ ③λ(+)=λ+λ 8.向量共线的充分条件：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实λ，使得＝λ。设（x1 ,y1）, = (x2,y2)，则x1y2－x2y1=0 9.平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2使　＝λ1＋λ2 其中不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。定比分点设P1，P2是直线l上的两点，点P是不同于P1，P2的任意一点则存在一个实数λ,使=λ，λ叫做分有向线段所成的比。点P1、P、P2的坐标分别为(x1，y1)，(x,y)，(x2,y2)， 　特别当λ=1，即当点P是线段P1P2的中点时，　平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为θ，则数量||||cosθ叫做与的数量积(或内积)，记作·即·＝||||cosθ规定：零向量与任一向量的数量积是0。(2)几何意义：数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积。(3)性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，θ是与的夹角，则·＝·＝||cosθ　⊥·＝0当与同向时，·＝|||| 　当与反向时，·＝|||| 特别地，·＝||2或||＝cosθ＝ |·|≤||||(4)运算律：·＝· (交换律) (λ)·＝λ(·)＝·(λ) (＋)·＝·＋·平面向量垂直的坐标表示的充要条件：设（x1 ,y1）, = (x2,y2)，则·=||·||cos90°=0x1x2+y1y2=0平移公式：设P（x，y）是图形F上的任意一点，它在平移后图形F上对应点为P（x，y），且设的坐标为（h，k），则由＝＋，得：（x，y）＝（x，y）+（h，k）0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量平移公式= (3,－4)平行的单位向量是_________； 错解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量就是，即 (，－) 错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。 正解的模等于5，所以与平行的单位向量是，即(，－)或(－，) 点评：平行的情况有方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求解“和= (3,－4)垂直的单位向量”，结果也应该是两个。 [例2]已知A（2，1），B（3，2），C（-1，4），若A、B、C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标。 错解：设D的坐标为（x，y），则有x-2=-1-3，y-1=4-2 ，即x=-2，y=3。故所求D的坐标为（-2，3）。 错因：思维定势。习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD的顺序。其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形ABCD。因此，还需要分类讨论。 正解：） 错因：对于|P1P|=2|PP2|这个等式，它所包含的不仅是点P为 P1，P2 的内分点这一种情况，还有点P是 P1，P2的外分点。故须分情况讨论。 正解：）； 当点P为 P1，P2 的外分点时，P 分P1P2所成的比为-2，此时解得P（13，4）。 则所求点P的坐标为（）或（13，4）。 点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。也就是分类讨论的数学思想。 [例4] 设向量 ，，则“”是“”的 ? A.充分不必要条件???????????????? B必要不充分条件 ? C充要条件?????????????????????? D既不充分也不必要条件 分析