奥数第一讲-一元二次方程及其应用.doc
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漳州正兴学校九年级奥数辅导班练习
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第一讲 一元二次方程及其应用
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【课前热身】
1.若关于x的方程(x-2)(x2-4x+m)=0有三个整数根,且这三个整数根恰好可以作为一个三角形的三条边的长,则m的值是___________,此时这个三角形是 三角形。
2.若的值为 。
3.的最小值为 ;的最大值为 。
4. .
5.如果多项式,则的最小值是( )
A、2005 B、2006 C、2007 D、2008
6.设
7.如果对于任意两个实数、,“”为一种运算,定义为,则函数(-3≤≤3)的最大值与最小值的和为 .
8. 设x1,x2关于x的一元二次方程的两个实数根,则的最大值为 。
【知识点链接】
1. 一元二次方程根的判别式:
关于x的一元二次方程的根的判别式为 .
(1)0一元二次方程有两个 实数根,即 .
(2)=0一元二次方程有 相等的实数根,即 .
(3)0一元二次方程 实数根.
2. 一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程有两根分别为,,那么 , .
3.二次三项式的最值问题讨论如下:
①当时, 二次三项式在时有最大值
②当时,二次三项式在时有最小值
【典例精析】
例1 设实数a,b满足:,求的最小值.
解:
例2 设m是不小于-1的实数,使得关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)若x12+x22=6,求m的值;(2)求的最大值.
解:
例3 边长为整数的直角三角形,若其两直角边长是方程的两根,求的值
并确定直角三角形三边之长.
解:
【巩固练习】
1.如果方程的两根之差是1,那么p的值为( )
(A)2(B)4(C)(D)
2.小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学,一天他在解方程时,突发奇想:在实数范围内无解,如果存在一个数,使,那么若,则,从而是方程的两个根。据此可知:①可以运算,例如:,则 ,②方程的两根为 (根用表示)
3.已知方程(其中a是非负整数),至少有一个整数根,那么a=___________。
4.规定符号表示不超过的最大整数,例,
求:方程大于的的解
解:;又由,即:
5. 已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1,求的值.
解:设方程的两个根为,其中为整数,且≤,
则方程的两根为,由题意得
6.试确定,对于怎样的正整数,方程有正整数解?并求出方程的所有正整数解.
解:将方程改写为 ,
由于表成两个正整数的平方和,只有两种不同的形式:
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