奥数第一讲-一元二次方程及其应用.doc

漳州正兴学校九年级奥数辅导班练习 PAGE PAGE 2 第一讲 一元二次方程及其应用 班级： 姓名： 日期： 【课前热身】 1．若关于x的方程（x－2）（x2－4x＋m）=0有三个整数根，且这三个整数根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的值是___________，此时这个三角形是 三角形。 2．若的值为 。 3．的最小值为 ；的最大值为 。 4． ． 5．如果多项式，则的最小值是（ ） A、2005 B、2006 C、2007 D、2008 6．设 7．如果对于任意两个实数、，“”为一种运算，定义为，则函数（－3≤≤3）的最大值与最小值的和为 ． 8. 设x1，x2关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最大值为 。 【知识点链接】 1. 一元二次方程根的判别式： 关于x的一元二次方程的根的判别式为 . （1）0一元二次方程有两个 实数根，即 . （2）=0一元二次方程有 相等的实数根，即 . （3）0一元二次方程 实数根. 2． 一元二次方程根与系数的关系 若关于x的一元二次方程有两根分别为，，那么 ， . 3.二次三项式的最值问题讨论如下： ①当时， 二次三项式在时有最大值 ②当时，二次三项式在时有最小值 【典例精析】 例1 设实数a，b满足：，求的最小值. 解： 例2 设ｍ是不小于－1的实数，使得关于ｘ的方程ｘ2＋2（ｍ－2）ｘ＋ｍ2－3ｍ＋3＝0有两个不相等的实数根ｘ1，ｘ2． （1）若ｘ12＋ｘ22＝6，求ｍ的值；（2）求的最大值． 解： 例3 边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程的两根，求的值 并确定直角三角形三边之长． 解： 【巩固练习】 1．如果方程的两根之差是1，那么p的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ） 2．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么若,则，从而是方程的两个根。据此可知：①可以运算，例如：，则 ，②方程的两根为 （根用表示） 3．已知方程（其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a=___________。 4．规定符号表示不超过的最大整数，例， 求：方程大于的的解 解：；又由，即： 5. 已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值. 解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤， 则方程的两根为，由题意得 6．试确定，对于怎样的正整数，方程有正整数解？并求出方程的所有正整数解． 解：将方程改写为 ， 由于表成两个正整数的平方和，只有两种不同的形式：