2010高考数学专题复习系列导学案2_导数及其应用 2.doc

导数及其应用 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. 2. 熟记八个基本导数公式(c,(m为有理数)， 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数. 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值． 导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数. 1．导数的概念：函数y＝的导数，就是当Δ0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δ的比的 ，即＝ ＝ ． 2．导函数：函数y＝在区间(a, b)内 的导数都存在，就说在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做的 ，记作或，函数的导函数在时的函数值 ，就是在处的导数. 3．导数的几何意义：设函数y＝在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的 . 4．求导数的方法 (1) 八个基本求导公式 ＝ ； ＝ ；(n∈Q) ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ (2) 导数的四则运算 ＝ ＝ ＝ ，＝ (3) 复合函数的导数 设在点x处可导，在点处可导，则复合函数在点x处可导， 且＝ ，即. 例1．求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率. 解 ∵Δy= 变式训练1. 求y=在x=x0处的导数. 解 例2. 求下列各函数的导数： （1） （2） （3） （4） 解 (1)∵ ∴y′ （2）方法一 y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11. 方法二 = =（x+3）+（x+1）（x+2） =（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11. （3）∵y= ∴ （4） ， ∴ 变式训练2：求y=tanx的导数. 解 y′ 例3. 已知曲线y= （1）求曲线在x=2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程. 解 （1）∵y′=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=|x=2=4.  ∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. （2）设曲线y=与过点P（2，4）的切线相切于点， 则切线的斜率k=|=. ∴切线方程为即 ∵点P（2，4）在切线上，∴4= 即∴ ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 变式训练3：若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k= . 答案 2或 例4. 设函数 (a,b∈Z)，曲线在点处的切线方程为y=3. （1）求的解析式； （2）证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值. （1）解 ， 于是解得或 因为a,bZ，故 （2）证明 在曲线上任取一点． 由知，过此点的切线方程为 ． 令x=1，得，切线与直线x=1交点为． 令y=x，得，切线与直线y=x的交点为． 直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为． 所以，所围三角形的面积为定值2. 变式训练4：偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式. 解 ∵f（x）的图象过点P（0，1），∴e=1. ① 又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）. 故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e. ∴b=0，d=0. ② ∴f（x）=ax4+cx2+1. ∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）. ∴a+c+1=-1. ③ ∵=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，∴4a+2c=