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专题十：参数取值问题的题型与方法（4课时） 求参数的取值范围的问题，在中学数学里比比皆是，这一讲，我们分四个方面来探讨 一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解. 例1．已知当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 分析：在不等式中含有两个变量及，其中的范围已知()，另一变量的范围即为所求，故可考虑将及分离. 解：原不等式即： 要使上式恒成立，只需大于的最大值，故上述问题转化成求的最值问题. ， ∴，即， 上式等价于或，解得. 说明：注意到题目中出现了及，而，故若把换元成，则可把原不等式转化成关于的二次函数类型. 另解：即 ，令，则， 整理得，恒成立. 设，则二次函数的对称轴为， 在内单调递减. 只需，即.(下同第一种解法) 例2．已知函数在定义域上是减函数，问是否存在实数，使不等式对一切实数恒成立？并说明理由. 分析：由单调性与定义域，原不等式等价于对于任意恒成立，这又等价于 对于任意恒成立. 不等式（1）对任意恒成立的充要条件是，即-----(3) 不等式（2）对任意恒成立的充要条件是， 即或，----------(4) 由（3）、（4）求交集，得，故存在适合题设条件. 说明：抽象函数与不等式的综合题常常需要利用单调性脱掉函数记号. 例3．设直线过点，和椭圆顺次交于、两点，试求的取值范围. 分析：本题中，绝大多数同学不难得到：，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系. 思路1: 从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量、，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线的斜率. 问题就转化为如何将转化为关于的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出. 解1：当直线垂直于轴时，可求得； 当与轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得，解之得 因为椭圆关于轴对称，点在轴上，所以只需考虑的情形. 当时，，， 所以 ===. 由 , 解得 ， 所以 ，综上 . 思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称 关系式. 原因找到后，解决问题的 方法自然也就有了，即我们可以构 造关于的对称关系式. 解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 （*） 则 令，则， 在（*）中，由判别式可得 ， 从而有 ，所以， 解得.结合得. 综上，. 说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法. 二、直接根据图像判断 若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷. 例4．当时，不等式恒成立，求的取值范围. 分析：若将不等号两边分别设成两个函数， 则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为 常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解. 解：设：，，则的图象为右图所示的抛物线，要使对一切，恒成立，显然，并且必须也只需当时的函数值大于等于的函数值. 故，，1a2. 例5．函数，其中在时函数恒正，求的范围. 解：排除对数的干扰，选为“主元”化函数为 ， 一次（或常数）函数恒正，被线段端点“抬在” 轴的上方。故有： ，. 说明：给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于 ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成 同理，若在内恒有，则有. 例6．对于满足的所有实数，求使不等式恒成立的的取值范围. 分析：在不等式中出现了两个字母：及关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于0恒成立的问题. 略解：不等式即，设，则在上恒大于0，故有： 即解得： ∴或. 例7.设,当时，都有恒成立，求的取值范围。 分析：题目中要证明恒成立，若把移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于0的问题. 解：设. ⅰ)当时，即时，对一