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第30－34课时： 参数取值问题的题型与方法 （Ⅰ）参数取值问题的探讨 一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 例1．已知当xR时，不等式a+cos2x54sinx+恒成立，求实数a的取值范围。 分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。 解：原不等式即：4sinx+cos2xa+5 要使上式恒成立，只需a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。 f(x)= 4sinx+cos2x=2sin2x+4sinx+1=2(sinx1)2+33, ∴a+53即a+2 上式等价于或，解得a8. 说明：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。 另解：a+cos2x54sinx+即 a+12sin2x54sinx+,令sinx=t,则t[1,1], 整理得2t24t+4a+0,( t[1,1])恒成立。 设f(t)= 2t24t+4a+则二次函数的对称轴为t=1, f(x)在[1，1]内单调递减。 只需f(1)0,即a2.(下同) 例2．已知函数f(x)在定义域（，1]上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f(ksinx)f(k2sin2x)对一切实数x恒成立？并说明理由。 分析：由单调性与定义域，原不等式等价于ksinx≤k2sin2x≤1对于任意x∈R恒成立，这又等价于 对于任意x∈R恒成立。 不等式（1）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2≤(1+sin2x)min=1,即1≤k≤1----------(3) 不等式（2）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2k+≥[(sinx)2]max=, 即k≤1或k≥2,-----------(4) 由（3）、（4）求交集，得k=1,故存在k=1适合题设条件。 说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。 例3．设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围. 分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系. 思路1: 从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出. 解1：当直线垂直于x轴时，可求得； 当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得， 解之得 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形. 当时，，， 所以 ===. 由 , 解得 ， 所以 ， 综上 . 思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式. 解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 （*） 则 令，则， 在（*）中，由判别式可得 ， 从而有 ，所以， 解得.结合得. 综上，. 说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法. 二、直接根据图像判断 若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。 例4．（2003年江苏卷第11题、天津卷第10题）已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1 x42，则的取值范围是 （ ） (A) (