06 常微分方程的数值求解.pdf
文本预览下载声明
第六章 常微分方程数值解
§6.0 引言
§6.1 欧拉方法
§6.2 龙格-库塔方法
§6.3 单步法的收敛性和稳定性
§6.4 线性多步法
1
§6.0 引言
1 主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题
的求解:
? dy
? = f ()xy,
? dx
?
()
? y xy00=
??
微分方程的解就是求一个函数y =x() ,
使得该函数满足微分方程并且符合初值条件。
2
2 例如微分方程: xy′ -24 y = x
初始条件: y(1)=-3
于是可得一阶常微分方程的初始问题
? 2 y
? y′ = + 4
? x
?? y(1)= ? 3
显然函数y()x=x-2 4 x 满足以上条件,因而是该初
始问题的微分方程的解。
3
3 但是,只有一些特殊类型的微分方程问题能
够得到用解析表达式表示的函数解,而大量
的微分方程问题很难得到其解析解,有的甚
至无法用解析表达式来表示。因此,只能依
赖于数值方法去获得微分方程的数值解。
4
4 微分方程的数值解:
设微分方程问题的解y(x)的存在区间是[a,b],初
始点x0=a,将[a,b]进行划分得一系列节点 x0 , x1 ,...,
xn,其中a= x0 x1… xn =b。
y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得到,
我们用数值方法求得y(x)在每个节点xk的近似值
y(xk),即y≈y(xk),这样y0 ,y1 ,...,yn称为微分方程的
数值解。如图所示:
ab
x0 x1 x2 ... xn-1 xn
5
1 欧拉公式
1.1 构造的思想:
? dy
微分方程初值问题: ? = f ()x, y
? dx
? ()
? y x00= y
利用差商代替一阶导数,即
dy yx()? yx ()
≈ 10
dx h
xx= 0
则 yx()? yx ()
10≈ f (,x y )
h 00
6
1 欧拉公式
于是,可求出y(x1)的近似值y1:
yyhfxy10= + (, 00 )
同样地,可利用x1处的微分方程可得:
yy21= + hf (,x 11y )
一般地,利用在xn处的微分方程可得:
yyhfxynnn+1 = +=( nn , ), 0,1, 2,...
此式称为欧拉公式。
7
1.2 几何意义:
对于微分方程
y‘=2(x+1),
其通解是y=(x+1)2+c,是
一个曲线族;
当给定初值条件
y(0)=2,
其特解为
y=(x+1)2+1。
8
由y(0)=2,过该曲线上一点
(0,2)作曲线的切线,其斜率
dy
= f ()0,2
dx x=0
∴切线为:
yf? 20,2
显示全部