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06 常微分方程的数值求解.pdf

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第六章 常微分方程数值解 §6.0 引言 §6.1 欧拉方法 §6.2 龙格-库塔方法 §6.3 单步法的收敛性和稳定性 §6.4 线性多步法 1 §6.0 引言 1 主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题 的求解: ? dy ? = f ()xy, ? dx ? () ? y xy00= ?? 微分方程的解就是求一个函数y =x() , 使得该函数满足微分方程并且符合初值条件。 2 2 例如微分方程: xy′ -24 y = x 初始条件: y(1)=-3 于是可得一阶常微分方程的初始问题 ? 2 y ? y′ = + 4 ? x ?? y(1)= ? 3 显然函数y()x=x-2 4 x 满足以上条件,因而是该初 始问题的微分方程的解。 3 3 但是,只有一些特殊类型的微分方程问题能 够得到用解析表达式表示的函数解,而大量 的微分方程问题很难得到其解析解,有的甚 至无法用解析表达式来表示。因此,只能依 赖于数值方法去获得微分方程的数值解。 4 4 微分方程的数值解: 设微分方程问题的解y(x)的存在区间是[a,b],初 始点x0=a,将[a,b]进行划分得一系列节点 x0 , x1 ,..., xn,其中a= x0 x1… xn =b。 y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得到, 我们用数值方法求得y(x)在每个节点xk的近似值 y(xk),即y≈y(xk),这样y0 ,y1 ,...,yn称为微分方程的 数值解。如图所示: ab x0 x1 x2 ... xn-1 xn 5 1 欧拉公式 1.1 构造的思想: ? dy 微分方程初值问题: ? = f ()x, y ? dx ? () ? y x00= y 利用差商代替一阶导数,即 dy yx()? yx () ≈ 10 dx h xx= 0 则 yx()? yx () 10≈ f (,x y ) h 00 6 1 欧拉公式 于是,可求出y(x1)的近似值y1: yyhfxy10= + (, 00 ) 同样地,可利用x1处的微分方程可得: yy21= + hf (,x 11y ) 一般地,利用在xn处的微分方程可得: yyhfxynnn+1 = +=( nn , ), 0,1, 2,... 此式称为欧拉公式。 7 1.2 几何意义: 对于微分方程 y‘=2(x+1), 其通解是y=(x+1)2+c,是 一个曲线族; 当给定初值条件 y(0)=2, 其特解为 y=(x+1)2+1。 8 由y(0)=2,过该曲线上一点 (0,2)作曲线的切线,其斜率 dy = f ()0,2 dx x=0 ∴切线为: yf? 20,2
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