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第2节 直角三角形 [课程标准解读] 1、知识与技能 （1）掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)和判定定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。 （2）了解逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的含义，能结合自己的生活及学习体验举出逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的例子。 （3）掌握直角三角形全等的判定定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。 2、过程与方法 从勾股定理及逆定理的探索与验证过程中，体会数形结合思想 3、情感、态度与价值观 进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。 [相关知识回顾] 1、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 2、命题与定理：判断一件事情的句子叫做命题，经过证明的真命题称为定理。 3、三角形全等的判定公理： ①两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS） ②两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA） ③三边对应相等的两个三角形全等; （SSS） 4、三角形全等的性质公理：全等三角形的对应边相等,对应角相等. [情境联想导入] 容易发现，梯形的面积可表示为：，三个直角三角形的面积和为，则，整理可得，从而验证了勾股定理的正确性。 [教材全面解读] 知识点1：勾股定理 你还记得勾股定理吗？它是怎样叙述的？它反映的是什么三角形的什么关系？ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如图1.2-2，如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2。图1.2-2 说明：（1）勾股定理主要体现出的是直角三角形的三边之间的关系，我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边叫作股，斜边称为弦，我国把它称为勾股定理。 （2）在西方，一般认为这个定理是由毕达哥拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理。 （3）该定理是直角三角形所特有的，其它三角形不具备的性质。 活学巧用：运用勾股定理可以解决下列类型的问题： （1）已知直角三角形的两边求第三边； （2）已知直角三角形的一边，求另两边之间的关系； （3）用于证明线段平方关系的问题。 知识点2：勾股定理的逆定理 图1.2-5 探究：数学来源于生活， 古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图1.2-5所示：他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处。 你知道古埃及人这样做的根基据是什么？原来他们用的是勾股定理的逆定理： 如果三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方，则这个三角形是直角三角形。 在上面问题中，因为，所以这样做就得到了一个直角三角形，从中你也看到了古人的聪明才智了吧！ 方法归纳：利用勾股定理的逆定理判别一个三角形是不是直角三角形时，应注意得出三角形中较小两边的平方和等于较大边的平方时，才可以判断这个三角形是直角三角形. 知识点3：互逆命题与互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 一个命题是真命题它的逆命题却不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 特别提醒：解读：（1）任何一个命题都有逆命题，但并不是任何一个定理都有逆定理；定理和逆定理都是真命题，原命题和逆命题不一定是真命题，一个原命题成立，它的逆命题有可能成立，也有可能不成立。 （2）几何中有许多互逆的命题，互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念。我们已见过一些互逆命题（定理），例如：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”；“全等三角形的对应边相等”与“对应边相等的三角形是全等三角形”等，都是互逆命题。勾股定理与勾股定理的逆定理也是互逆的命题，而且这两个命题的题设和结论都比较简单。 知识点4：直角三角形全等的判定 探究：前面我们学习过三角形全等的判定，直角三角形作为一种特殊的三角形，已经具备了一个角是直角的条件，若两个三角形有一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等吗？ 上面问题用符号语言可表示为：如图1.2-6，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=DF，AB=DE，试判断Rt△ABC和Rt△DEF是否全等。 图1.2-6 发现：运用勾股定理可知， 因为AC=DF，AB=DE，可知BC=EF，利用“SSS”可以得到Rt△ABC≌Rt△DEF. 总结归纳：定理：斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等。（简称为“斜边、直角边”或“HL”.） 拓展：判定两