离散数学期中作业.doc

克里特岛人的悖论又称：说谎者悖论谎言者悖论起源 西元前6世纪，克利特哲学家埃庇米尼得斯（Epimenides）说了一句很有名的话：“所有克利特人都说谎。” 这句话有名是因为它没有答案。因为如果艾皮米尼地斯所言为真，那么克利特人就全都是说谎者，身为克利特人之一的埃庇米尼得斯自然也不例外，于是他所说的这句话应为谎言，但这跟先前假设此言为真相矛盾；又假设此言为假，那么也就是说所有克利特人都不说谎，自己也是克利特人的艾皮米尼地斯就不是在说谎，就是说这句话是真的，但如果这句话是真的，又会产生矛盾。因此这句话是没有解释的。 谎言者悖论概述 　　哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。在1903年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。” 　　他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：‘不论我说什么都是假的’。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。” 　　罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“1903年和1904年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。” 　　 《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。 接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解，如果这个悖论是克利特以外的什么人说的，悖论就会自动消除。但是在集合论里，问题并不这么简单。 谎言者悖论的形式 　　说一个语句为真，即肯定该语句，也就是维持该语句之真值形式不变。说一个语句为假，即否定该语句，也就是颠倒其真值形式。这是逻辑学中最基本的规则之一。一般认为兰姆赛(Ramsey)在提出真理冗余论时最先明确地对之进行了扼要的阐释。他指出：“P，这是真”(It is true that P)与“P”同义；“P，这是假”(It is false that P)与“-p”同义。该规则的另一种表述是，“P是真”，与“P”同义；“P是假”，与“-p”同义。我们在以后的讨沦中姑且将这个规则称为“兰姆赛原则”。 　　说谎者语句可简单地表述为：这语句是假。根据自古以来关于说谎者悖论内容的约定，说谎者语句的主词“这语句”指称说谎者语句即“这语句是假”本身，亦即： 　　(A)这语句→这语句是假 　　我们将上式称为“约定A”，其中符号“→”代表指称概念。下面的分析将表明，人们在说谎者悖论的推导中，实际上是将约定A中的指称概念当作逻辑等值概念或同义概念来使用的；因此严格地讲，人们事实上预设了“这语句”指称(同义于或等值于)“这语句是假”。当我们断言说谎者语句为真时，得： 　　(1)“这语句是假”是真 　　根据兰姆赛原则，断定一个语句是真的，等于肯定该语句，因此由(1)推出： 　　(2)这语句是假 　　人们认为(1)与(2)相矛盾。这是说谎者悖论的约定的一半内容。现在的问题是，单从形式上看，我们不能断定语句(1)与(2)相矛盾。语句(1)的主词是“‘这语句是假’”，而(2)的主词是“这语句”，它们二者在形式上并不同一；若要语句(1)与(2)相矛盾，必须使它们的主词同义，即预设约定A成立；也就是说，必须预设语句(1)和(2)的主词都指称说谎者语句本身；如果(1)与(2)的主词不同义，则它们必不互相矛盾。这样，我们根据约定A，将(2)的主词作一代换，得： 　　(3)“这语句是假”是假 　　(3)与(1)是典型的形式上的矛盾，(3)亦是(2)的否定。但是为什么我们会从(1)[通过(2)]推出与其相矛盾的(3)呢?明显地，我们在以上推理中只使用了唯一的一个具体的逻辑根据，即约定A，现在我们考察一下约定A在逻辑上是否有问题。 　　说谎者语句的主词“这语句”是说谎者语句的指示词，其语义作用相当于说谎者语句的名称。语句的指示词和名称相当于逻辑学中的命题常项，我们可以将“是真”或“是假”加在其后形成一个肯定句或否定句。就此而论，“这语句是假”可看作是对其主词“这语句”的否定，这点也可从说谎者语句说自身为假这个事实看出来，即说谎者语句意谓着：