01.初中数学竞赛中不定方程的整数解问题.pdf

2 中 等 数 学 初中数学竞赛中不定方程的整数解问题 张 宁 (宁夏回族 自治区中卫市沙坡头区宣和镇张洪学校，755006) 中圈分类号：0122．2 文献标识码：A 文章编号：1005—6416(2012)05—00O2—04 (本讲适合初 中) 故(，，，) 初中数学竞赛中不定方程的整数解问 = (-2，一1)，(0，3)，(1，2)，(一3，0)。 题，不但涉及到方程的相关知识，还涉及到数 于是，原方程共有4组整数解． 论中的相关知识 (如整除、奇数、偶数、质数、 因此，选D． 合数等)，是近年各级各类数学竞赛的热点 2 因式分解法 问题．解决此类问题的方法灵活性较大，技巧 性较强，对初中学生而言有一定的难度．本文 当不定方程的一边容易化为两个一次因 以近几年各类竞赛试题为例，介绍此类问题 式的乘积、另一边是一个整数时，通常用分解 的常见解法，供读者参考． 因式法解决不定方程的整数解问题． 例 2 方程 2 +5xy+2y2=2007的所 1 利用整数分离 有不同的整数解共有 组． 在解决不定方程问题时，首先逆用分式 (2007，全国初中数学联赛四川初赛) 的加减法，将分式拆分成一个整数与一个分 解 原方程可化为 (2x+y)(+2y)=2007． ) 子为常数的分式的和或差的形式，然后利用 整数整除的性质通过对简单分式的分析来解 因为x,y都是整数，不妨设 ≤y，所以， 2x+y≤ +2y． 决问题．这种方法是处理含有分式不定方程 注意至n，3I【2+，，)+(+2y)]． 的整数解问题的一种有效途径． 故由式①得方程组 例 1 方程 一，，=0的整数解共有 + l f2 +Y=3， f2 +Y=一669， ( )组． l+2y=669；【+2y=一3． (A)l (B)2 (c)3 (D)4 其整数解分别为 (2o04，全国初中数学竞赛天津赛区初赛) - 221，f一445， 3 Y【=445； Y【=221． 解 一l~lx+l—y=0，知 + 当 ≥y时，原方程还有两组整数解 +3 ． 2 f：445，f=22， Y ；+I + +l ‘ Y【=一221，I)，=一445． 因为x,y均为整数