微分形式的应用I.doc

微分形式的应用 微分形式具有独立于描述参数的优点，其运算简单，适用性广。在多元微积分、几何、物理领域特别有用。 下面列出其一部分应用，并用例子演示，包括 1判定函数之间是否互为函数 2计算函数相切的条件和切点 3计算函数极值或约束下的极值 4计算函数族的包络子空间 5复杂多元微分导数 6热力学关系 7时变积分区间的积分量的时间导数 判定函数之间是否互为函数 比如 ,,也许一眼就能看出来他们相互有函数关系，复杂的就难处理了。 特别是三个函数，如,实际上有就难以判别。 用微分形式计算，对第一种情况 对第二种情况 实际上对于多元函数，如果 那么就存在函数关系 因此外积就是排除相关性的操作。中，函数中与相关的部分不起作用。 “，则互为函数”可以这样理解，将看成从自变量空间（高于1维的，比如二维的）到二维的函数值空间的映射。自变量空间的面区域或体区域就映射为面积为0 的东西（比如是线段或点），这条线或点就是这两个函数间满足的约束关系。如图所示 计算函数相切的条件和切点 两个函数相切条件是，在切点处 比如曲线和曲线，在参数取什么值时相切？切点坐标是什么？ 就可以这样计算 即 可以求得 用隐函数定义的平面曲线有时会自相交或自相切，其自相交点或自相切点就可以这样计算 一般没有解 但是用隐函数定义的曲线族中往往会出现上述情况，计算方法是 比如 线族中，就有 可以求得，图所示分别对应 实际上他们是三鞍面按照高度截出来的 三维曲面一般相交成曲线，有些情况也会在一些点处相切。与相切的条件为，一般不会出现，但是曲面族可以做到，如曲面族与相切的条件为，于是计算面相切条件及相切点的方程为 例如与相切条件 无解，这两族曲面不可能相切。 多个（超）曲面族，相切的条件及切点的计算 计算函数极值或约束下的极值 我们知道函数的极值点是，用给出的方程计算。用微分形式表达为。 存在约束条件时，比如，在约束条件下的极值可以这样计算，得到 即 得到极值点为 再如，在约束下的极值问题可以这样计算 得到 即 于是极值点为 一般地，满足约束条件的函数的极值可以 按照下面方程计算 可以这样解释 自变量空间上，在极值点附近，曲线极值函数=const与约束函数曲线相切。如图所示 计算函数族的包络子空间 将曲线族画出来，可以明显看到波峰间的重叠较强的斜线 将曲线族画出来，可以明显看到波峰处的重叠较强的外形曲线， 这些就是包络线。包络线上的点是最相邻曲线族所共有的，因此包络线满足下面条件 具体地，考虑图1情况 是许多斜率为1的平行直线。 考虑第二种情况 这就是包络线的参数方程。 因此参数族的包络方程为 对于速度固定的抛物轨迹曲线族，可以定义为 其中和为给定常数。 这个抛物族的包络 于是有 得到 约化为 见图形 复杂多元微分导数 已知，计算 已知，，计算 已知，计算 此处的简写记号为 时间参数表达的抛物线，计算 将此方程看成约束 总之，外微分将参数空间扩展，并将相互关联的部分去掉。因此特别适合多元微分的运算。 热力学关系 外微分，得到Maxwell关系 可得 可得 可得 可得 含温度状态方程自洽关系 与要满足自洽关系 ，对其外微分 变换参数 即 变换变量，将任意表达式表示为导数形式 等温声速和等熵声速关系 时变积分区间的积分量的时间导数 空间中线元，面元和体元 设流场速度为 随着流场的线元的变化率 随着流场的面元的变化率 随着流场的体元的变化率 跟随流场运动的线段，沿着线段的积分 设流场速度为 这个积分的变化率 跟随流场运动的曲面，在曲面的积分 设流场速度为 这个积分的变化率 跟随流场运动的区域，对区域的积分 设流场速度为 这个积分的变化率 x y f g x y 约束