3.3（附加1）圆锥曲线的弦长与中点弦问题（解析版）.docx
3.3（附加1）圆锥曲线的弦长与中点弦问题
一、单选题
1．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（????）
A．1 B．3 C．6 D．8
【答案】D
【分析】由题意可得直线与的方程为，代入抛物线方程得，根据韦达定理与焦半径的公式即可求出的值.
【解析】解：由题意可知，所以直线与的方程为，
联立直线方程和抛物线方程，可得，
设
则，
所以.
故选：D.
2．一条过原点的直线与椭圆的一个交点为，则它被椭圆截得的弦长等于（????）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】已知直线与椭圆的一个交点为，可求得其与原点的距离，根据对称性可知，直线被椭圆截得的弦长为两交点分别与原点的距离之和，从而得出答案.
【解析】设过原点的直线的方程为：，直线与椭圆的一个两个交点分别设为，
则根据对称性可知两点关于原点对称，即，
而
直线被椭圆截得的弦长为,所以.
故选：B.
3．已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】中点弦问题利用点差法处理.
【解析】法一：设，则，
所以，又AB的中点为，
所以，所以，由题意知，
所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即，
代入并整理得，
因为为线段AB的中点，所以，整理得，
所以C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
4．已知双曲线的左?右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得，则双曲线方程为，，，可得直线为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义和的周长为36，可求出，从而可求出双曲线的方程
【解析】因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，则双曲线方程为，，，
所以直线为，
设，
由，得，
则，
所以，
因为，，
所以，
因为的周长为36，
所以，
所以，得，
所以双曲线方程为，
故选：C
5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，若A、B为抛物线上两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．当，时，抛物线的方程为（????）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据焦半径公式可得，结合点斜式与两直线垂直的关系可得，进而联立求解可得.
【解析】设，，．①
中垂线方程为，令有，解得．②
由①②解得．
故选：D
6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，则的最小值为（????）
A．19 B．25 C．37 D．85
【答案】B
【分析】设，可表示，利用基本不等式计算即可.
【解析】由题意，双曲线焦点坐标为，
设，且，则，
当且仅当即时等号成立，
所以最小值为25，
故选：B.
7．已知抛物线：的焦点为，准线为，过的直线交于，两点，作，，垂足分别为，，若，，直线分别与以，为直径的圆相切于，两点，则（????）
A． B． C．5 D．
【答案】C
【分析】画图，设，，其中，，直线：，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理结合，，可得，，，进而得到以，为直径的圆都与轴相切，进而求得即可
【解析】如图所示，由抛物线方程得：，，由对称性不妨设，，其中，，直线：，则，，由，得，所以，因为，，所以，解得，，，所以，，即，，又，所以的中点坐标为，其到轴的距离为5，又，所以以为直径的圆与轴相切.同理，以为直径的圆也与轴相切.因为直线分别与以，为直径的圆切于，两点，所以.
故选：C
8．已知直线与抛物线相交于、两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是（???）
A． B．
C．的面积为 D．
【答案】C
【分析】求出抛物线的准线方程，可求得的值，可判断A选项的正误；利用点差法可求得线段的中点坐标，根据勾股定理列等式可求得的值，可判断B选项的正误；利用抛物线的焦点弦长公式以及三角形的面积公式可判断CD选项的正误.
【解析】由题意知，抛物线的准线为，即，解得，故选项A正确；
因为，所以抛物线的方程为，其焦点为，
又直线，即，所以直线恒过抛物线的焦点，
设点、，因为、两点在抛物线上，
联立方程，两式相碱可得，，
设的中点为，则，
因为点在直线上，解得，
所以点是以为直径的圆的圆心，
由抛物线的定义知，圆的半径.
因为，所以，
解得，故选项B正确；
因为，所以，直线为，即，
由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离为，
所以，故选项C错误，D正确.
故选：C.
9．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点.若C1恰好将线