结构力学 第2版 素材 10-04 结构的本性及其应用.docx

结构的本性及其应用

振型分解法是多自由度结构动力分析的基础，其中的重要思想为模态正交性。正交性是广泛使用的概念。“正交性（orthogonality）”最初来自几何。如果两条直线相交成直角，他们就是正交的。从向量角度来说，这两条直线互不依赖。沿着某一条直线移动，该直线投影到另一条直线上的位置不变。由于正交性的使用，我们在表达某个向量时更易理解，而且冗余度最低。我们最熟悉的正交就是直角坐标系，其坐标轴之间互相垂直。以二维直角坐标系为例，设某个向量在x轴上的投影为a，在y轴上的投影为b，那么向量便可以表示为（x和y轴单位向量分别为和）。也可以这样说，向量在两个坐标轴向的投影值分别为a和b。

将结构振动的位移比拟为向量，振型（或特征向量）比拟为坐标轴，基于特征值分析，振型分解法将位移投影到特征向量或振型上，而获得的广义坐标便可理解为投影值。在特征值分析中，振型关于结构质量或刚度均具有正交性。这样时空变化的位移能够被最高效地分解为一系列与时间相关的广义坐标和与空间相关的振型的乘积之和。可见在分析中巧妙的应用了正交性的概念。应该指出，正交性在很多方面有着重要的应用。例如，著名的傅里叶级数也是基于正交性展开的。

特征向量和特征值属于结构的本性（固有特性），振型分解法是其在结构工程中的一种应用。而在图像影音处理、信号分析、人工智能等领域，特征向量和特征值问题也是最常见的一类问题，有着广泛而深入的应用。