2.5--矩阵的秩及其求法.ppt

* 一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 第四节 矩阵的秩及其求法 第二章 三、满秩矩阵 * 1. k 阶子式 定义1 设 在A中任取k 行k 列交叉 称为A的一个k 阶子式。 阶行列式， 处元素按原相对位置组成的 一、矩阵的秩的概念 * 设 ， 例如 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素 所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。 显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。 * 2. 矩阵的秩 设 ， 有r 阶子式不为0，任何r+1阶 记作R(A)或秩(A)。 子式(如果存在的话)全为0 , 定义2 称r为矩阵A的秩， * 规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意： (1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至少有一个 r 阶子 式 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶 子式均为 0，r 是 A 中非零的子式的最高阶数. (2) 由行列式的性质， (3) R(A) ≤m, R(A) ≤n, 0 ≤R(A) ≤min { m , n } . (4) 如果 An×n , 且 则 R ( A ) = n . 反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . * 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(定义)。 例1 设 为阶梯形矩阵， 求R(B)。 解 ， 由于 存在一个二阶子式不为0，而 任何三阶子式全为0， 则 R(B) = 2. 结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。 * 例如 一般地， 行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。 * 如果 求 a . 解 或 例2 设 * 则 例3 * 2、用初等变换法求矩阵的秩 定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。 即 则 说明： 只改变子行列式的符号。 是 A 中对应子式的 k 倍。 是行列式运算的性质。 由于初等变换不改变矩阵的秩， 而任一 都等价 于行阶梯矩阵。 其秩等于它的非零行的行数，即为 所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩阵来求A的秩。 * 例4 解 R(A) = 2 ， 求 * 例5 * 三、满秩矩阵 称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵） 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵） 可见： A 为 n 阶方阵时， 定义3 * 定理3 设A是满秩方阵，则存在初等方阵 使得 对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E, 又根据初等阵的作用： 每对A施行一次初等行变换， 相当于用一个对应的初等阵左乘A, 由此得到下面的 定理 * 例如 它的行最简形是 n 阶单位阵 E . 对于满秩矩阵A， A为满秩方阵。 * 定理5 R(AB) R(A), R(AB) R(B),即 R(AB) min{R(A)，R(B)}。 关于矩阵的秩的一些重要结论： 性质1 设A是 矩阵， B是 矩阵， 性质2 如果 A B = 0 则 性质3 如果 R(A)= n, 如果 A B = 0 则 B = 0。 性质4 设A,B均为 矩阵，则 * 设A为n阶矩阵，证明R(A+E)+R(A-E)≥n 证： ∵ (A+E)+(E-A)=2E ∴ R(A+E)+ R(E-A)≥ R(2E)=n 而 R(E-A )=R( A-E) ∴ R(A+E)+R(A-E)≥n 例8 * 作业 P109 1 2 3