逆矩阵的求法及逆矩阵的应用.doc

逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用 摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩阵理论中一个非常重要的概念。关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。 关键词：矩阵 逆矩阵 逆矩阵的求法 逆矩阵的应用 The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix Abstract: In modern mathematics，matrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix 一：引言 在现代数学中，矩阵是一个有效而应用广泛的工具。在矩阵理论中，逆矩阵又一个非常重要的概念。本文将对矩阵可逆性的由来及逆矩阵的定义、性质、判定方法进行探讨，并进一步了解逆矩阵在现代数学中的应用，以激发学生的学习兴趣，让学生进一步了解逆矩阵的应用，从而提高教育教学质量。 二：矩阵的逆的定义 对于n矩阵A，如果存在一个n矩阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵），那么说矩阵A可逆，并把矩阵B称为A的逆矩阵。记A的逆矩阵为A. 三：可逆矩阵的性质 1、如果矩阵A、B均可逆,那么矩阵AB可逆，其逆矩阵为BA.（推广：如果矩阵A1 ，A2 ,…… An 均可逆,那么矩阵A1A2…An可逆，其逆阵为An…A2A1） 2、如果A可逆，那么可逆，且=A； 3、如果A可逆，那么可逆，且. 4、. 5、如果A可逆，数，那么可逆，且； 6、如果矩阵A的逆存在，那么该逆矩阵唯一。 以上结论见文献[1] 四：矩阵可逆的几种判别方法 设矩阵A为n阶方阵，那么A可逆的充要条件有： 1、存在n阶方阵B，使得AB=I； 2、对PAQ=，其中P为s矩阵，Q为n×m矩阵，r（A）=n； 3、； 4、是非退化矩阵. 5、A的行向量（列向量）组线性无关； 6、A可由一系列初等矩阵的乘积表示； 7、A可经过一系列初等行变换（列变换）化成单位矩阵I； 8、齐次线性方程组AX=0只有零解. 以上结论见文献[1] [8] 五：逆矩阵的几种求法 （一）定义法 定义：矩阵A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=E,那么称A可逆，称B为A的逆矩阵，记为. 求矩阵的逆矩阵. 解 ： 因为≠0,所以存在.设, 由定义知A=E,所以 =. 由矩阵乘法得 =. 由矩阵相等可解得 ;;. 故 （二）伴随矩阵法 定理：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化.且，其中，Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，即有A-1 = A*. 该定理见文献[1] 注 ⑴此方法适用于计算阶数较低矩阵（一般不超过3阶）的逆，或用于元素的代数余子式易于计算的矩阵求逆。注意A* = （Aji）n×n的元素位置以及各元素的符号。特别地，对于2阶方阵，其伴随矩阵为. ⑵对于分块矩阵，上述求伴随矩阵的规律不适用. 例2：已知，求A-1. 解: ∵ = -1 ≠ 0 ∴A可逆.由已知得 A-1 = A* = （三）行(列)初等变化法 设n阶矩阵A，作n×2n矩阵，对该矩阵作初等行变换，如果把子块A变为，那么子块