二倍角的正弦余弦正切习题4.doc

引申与提高习题 本章主要内容是三角变换及解三角形，其应用十分广泛．要求正确、熟练运用两角和、差、倍、半，以及积与和互化三组公式进行化简、求值、证明，并能解决其他相关问题；本章的公式多，要弄清公式间的内在联系，推导过程，熟悉公式的各种变形和全部公式的整体结构以及公式各自的作用．通过反复练习，熟练地掌握、灵活运用这些公式，为此，还应思考以下几个问题： 一、三角函数的最值 求三角函数的最值，一般是利用三角函数的性质，再结合代数中求最值的方法，如配方法、平均值法等． 例1．求函数的最值． 解： 当 sin2x = 0时，； 当 sin2x =±1时，． 例2．求函数（0 x π）的最大值． 解：设，∵ 0 x π ，∴ t 0． ∴ ． 在（0 ，π）内存在使t 2 = 3的角x，因此有． 说明：万能置换法是求三角函数最值的常用方法，要灵活掌握． 例3．求函数的最值． 解法一 由原函数得 sinx + ycosx = 2－2y，即 ， ∵ ， ∴ ． 解得 所以 ，． 解法二 令 u = cosx，v = sinx，则u2 + v2 =1 ． 它表示单位圆，于是只要求出共点直线系v = k (u－2) +2的斜率的最值． 易知，最值在直线与圆相切时取得． 所以 ， 解得 ． ∴ ，． 说明：解法一利用三角函数性质 | sin x |≤1，| cos x |≤1．解法二构造几何模型，解法简捷． 例4．已知，求函数 的最值． 解： ． 令 ，（），则 ． 因此， ． 当t = －a时， ． 当时，． 说明：用换元法，令，既减少了变量，又明确了t的取值范围，使问题容易解决 ． 例5．求外切于单位圆O的Rt△ABC的周长l的最小值．（如图） 解 设AD为x，BE = y，∠OAD = α ，则 l = 2 ( 1 + x + y ) ∴ 当cos ( 2α－45? ) = 1时，即 2α = 45?，α = 22.5? 时，△ABC的周长的最小值为． 二、三角不等式 未知数含在三角函数的自变量中的不等式叫三角不等式．其中最简单的三角不等式，可以利用三角函数线或三角函数图像来解、证明三角不等式需综合应用代数、几何的基本不等式有关知识，并要熟练运用三角恒等变换公式． 例6．求函数 的定义域． 分析 函数定义域应满足不等式组 即 由单位圆的三角函数线得 或 即 或 ，k∈Z ． 例7．求证： ． 说明：左边 = ． ∵ ，即 ． 所以 ． 三、综合运用知识 三角函数既是解决数学各分支问题及相关学科问题的重要工具，又与数学各分支有密切联系，因此必须重视知识的沟通与综合运用． 例8．求的值． 解：令 ， 则t≠1，t5=1，且 ． ∵ t5－1= (t－1) ( t4 + t3 + t2 + t + 1) = 0， ∴ t4 + t3 + t2 + t + 1 = 0， 即 ． ∴ ， ∵ ， ∴ ． 例9．在直角坐标系中，△ABC两个顶点C、A的坐标分别为（0，0）、，三个内角A、B、C满足． （1）求顶点B的轨迹方程； （2）过顶点C作倾斜角为θ的直线与顶点B的轨迹交于P、Q两点，当时，求△APQ面积S (θ)的最大值． 分析：（1）由正弦定理得 ， ∵ ， ∵ ， ∴ a + c = 4，即 | BC | + | BA | = 4 ． B点的轨迹是以C、A为焦点，长轴4，中心在的椭圆（y≠0）． （2）设直线PQ的方程为y = x· tanθ，．如图， 由 得 ， 设方程两根为x1、x2，则 ，． ． ∵ 点A到直线PQ的距离 ∴ 化简得 ． 当且仅当时，即 时，等号成立． ∴ S (θ)最大值为2． 四、三角消元与代换 消元法是三角变换中常用的方法，一般利用同角三角函数关系进行消元． 例10．已知，，求tanα、tanβ的值． 解：由，得 sin α = 2 sin β ， ① ，得 ② ①2 + ②2得 ，即 ． ∵ cosβ ≠ 0，两边同除以cos2β得 4 tan2β = 1， ∴ ． ① ÷ ② 得 ． 所以tanα = 2，或tanα =－2， ． 三角代换是一种重要的变量替换，常用于求函数最值、值域等．常用的三角代替有： 1．如果0≤x≤1，令 x = sin 2 α或x = cos2α（0≤α≤）； 2．如果－1≤x≤1，令x = sin α（）或 x = cos α（0≤x≤π）； 3．如果x2 + y2 = R2，令x = R cosα，y = R sinα（0 ≤ α 2π ）； 4．如果x∈R，令