多元统计-因子分析.ppt

3.3 因子载荷的估计方法 3.3.1 因子载荷的求解 3.3.2 求主因子解的步骤 主成分法 2007.8 安徽财经大学统计与应用数学学院 要建立某实际问题的因子分析模型，关键是要根据样本数据矩阵估计载荷矩阵A（即求解初始因子——主要目的是确定能够解释观测变量之间相互关系的最小因子个数）。根据所依据的准则不同，有很多种求因子解的方法。其中使用最为普遍的方法是主成分法。 3.3.1 因子载荷的求解 主成分法 2007.8 安徽财经大学统计与应用数学学院 设随机向量 的协差阵为∑。 为∑的特征根， 标准正交化特征向量（只要特征根不等，对应的单位特征向量一定是正交的)，则根据线性代数知识∑分解为： 为对应的 3.3.1 因子载荷的求解 主成分法 , , 2 1 p u u u L 2007.8 安徽财经大学统计与应用数学学院 上面的分解式恰是公共因子与变量个数一样多且特殊因子的方差为0时，因子模型中协差阵的结构。 2007.8 安徽财经大学统计与应用数学学院 因为这时因子模型为： 其中 ，所以： 即 对照∑的分解式，则因子载荷阵A的第 列应该是 也就是说除常数： 外，第 列 因子载荷恰是第 成分 个主 的系数 ，故称为主成分法。 3.3.1 因子载荷的求解 主成分法 2007.8 安徽财经大学统计与应用数学学院 上边给出的∑表达式是精确的，但实际应用时总是希望公共因子个数小于变量的个数即 mp ，当最后p—m个特征根较小时，通常是略去最后p—m项 对∑的贡献，于是得到： 3.3.1 因子载荷的求解 主成分法 p p m m u u l l , , 1 1 L + + 2007.8 安徽财经大学统计与应用数学学院 上式是假定了因子模型中特殊因子是不重要的，因而从∑的 分解中忽略掉特殊因子的方差。 如果考虑了特殊因子以后，协差阵为： 3.3.1 因子载荷的求解 主成分法 2007.8 安徽财经大学统计与应用数学学院 当∑未知，可用样本协差阵S去代替，要经过标准化处理，则S与相关阵R相同，仍然可作上面类似的表示。 3.3.1 因子载荷的求解 主成分法 2007.8 安徽财经大学统计与应用数学学院 则因子载荷阵的估计为： 一般设 为样本相关阵R的特征根， 相应的标准正交化特征向量为； 设 m p， 即 3.3.1 因子载荷的求解 主成分法 , , , 2 1 p u u u L 2007.8 安徽财经大学统计与应用数学学院 = 当公共因子 有P个时，特殊因子为0，所以， A为因子载荷阵。 设随机向量 的协方差为 ， 的特征值为 ，其相应的特征向量为 （标准正交基） 则因子载荷矩阵： , , , 2 1 p u u u L 2007.8 安徽财经大学统计与应用数学学院 = 因为因子载荷矩阵A是前m个主成分系数的倍数，所以称为 主成分解。 由于因子分析的目的是减少变量个数，因此，在计算因子载荷矩阵时，一般不选取所有特征值，而只选取前m个特征值和对应的特征向量，得到下面的有m个公共变量的因子载荷矩阵： 2007.8 安徽财经大学统计与应用数学学院 另外，当 未知时，用样本协方差S 代替 ，或样本相关阵R 代替 。一般设 为样本相关阵R 的特征根，相应的标准正交化特征向量为 。设 ，则因子载荷阵的估计为 ，即 ) ? ( ? ij a A = ) ? ? , , ? ( 1 1 m m u u A l l L = ? 2007.8 安徽财经大学统计与应用数学学院 3.4.1 因子旋转 为什么要进行因子旋转 建立因子分析数学模型的目的不仅是为了找出公共因子，更重要的是要知道每个公共因子的意义，到底代表了什么?为此就要考察各个变量 X1，X2，┉XP 在某个因子上的负荷，负荷绝对值大的变量显然与该因子的联系就更密切，可是如果因子负荷的大小相差不大，