数学归纳法(公开课).ppt

* 问题情境一 大球中有5个小球，如何判断是绿球还红球？ 一 二 三 … 很傻很天真 聪明 观察?归纳?猜想 问题情境二 归纳法:由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 （结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难） （结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想） 归纳法 ①完全归纳法:考察全体对象,得到一般结论的推理方法 ②不完全归纳法:考察部分对象,得到一般结论的推理方法 归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法 猜想数列的通项公式为： 解: （1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？ （2）你的猜想一定是正确的吗？ 验证: 逐一验证，不可能！！！ 能否通过有限个步骤的推理, 证明n取所有正整数都成立？ 设置问题，引导探究 情境三（多米诺骨牌游戏） ⑴第1块骨牌倒下。 ⑴ 当n=1时，验证猜想正确。 ⑵如果第k块 倒下时，一定能导致第k+1块也倒下。 ⑵如果 n=k 时猜想成立，一定能推出 根据⑴和⑵，可知不论有多少个骨牌都能全部倒下。 根据 ⑴ 和 ⑵ ，可知对所有的正整数n，猜想都成立。 当n=k+1时猜想也成立。 如何通过有限个步骤的推理,证明n取所有正整数都成立? 多米诺骨牌游戏原理 猜想数列的通项公式为： 分析: 证明： (1)当n=1时，左边a1+1= a2= ,右边= ,等式成立 (2)假设当n=k+1时，等式成立，即 ak = 那么n=k+1时， ak+1= ak 1+ak 1 k 1 2 1 2 = 1 k 1 k 1+ = 1 k+1 即n=k+1时，命题成立 根据⑴⑵可知,对n∈N＊,等式成立. 递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。 递推基础 递推依据 写明结论 才算完整 方法归纳： 验证n=n0时命题成立。 命题对所有的正整数n ( n ≥ n 0 )都成立。 归纳奠基 归纳递推 数学归纳法： 若n = k ( k ≥ n 0) 时命题成 立 n=k+1时命题也成立。 两个步骤 一个结论 缺一不可 思维误区警示 求证： 证明：①当n=1时，左边＝ ,右边＝ ，等式成立. 那么，当n=k+1时，有 即n=k+1时，命题成立 根据①②可知，对n∈N＊，等式成立. ②假设n =k时，有 即n=k+1时，命题成立 根据①②可知,对n∈N＊,等式成立. 递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。 自我挑战 1.数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用： 用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明结论． 2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是： (1)证明当n取第一个值n0时结论正确； (2)假设当n＝k(k∈N*,k≥n0)时结论正确, 证明当n＝k＋1时结论也正确． 这两个步骤缺一不可．证明的第一步是为了获得递推的基础，但这一步还不能说明递推的普遍性；证明的第二步，是为了获得递推的依据．在第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法． 练习：P72 用数学归纳法证明: 1. 1+2+3+…+n = n(n+1) 3.首项是a1 ,公比是q的等比数列的 通项公式是 an=a1qn-1 1 2 *