高考数学复习第四讲数学归纳法市赛课公开课一等奖省课获奖课件.pptx

第四讲数学归纳法证实不等式

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一数学归纳法

学习目标

1.了解并掌握数学归纳法概念，利用数学归纳法证实等式问题；

2.学会利用数学归纳法证实几何问题、证实整除性等问题.

课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

数学归纳法

学习目标

1.数学归纳法适合用于无限实个正整数 相关命题.

2.数学归纳法步骤是：

(1)(归纳奠基)验证当n=n,(n₀为命题成立起始自 然数)时命题成立;

(2)(归纳递推)假设当n=k(k∈N+,且k≥n₀)时命题成立，推导n=k+1时命题也成立●

(3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切n≥n₀自然数都成立.

课前自主学案

思索感悟

在数学归纳法中n₀是什么样数?

提醒：n₀是适合命题正整数中最小值，有时是n₀=1或n₀=2,有时n,值也比较大，不一定是从1开始取值.

考点突破

考点一用数学归纳法证实等式问题

例1用数学归纳法证明：n∈N+时，

课堂互动讲练

左边=右边，∴等式成立.

(2)假设n=k(k≥1)时，等式成立，即

【证明】(1)当n=1时，左右边

则当n=k+1时，

∴n=k+1时，等式也成立.

由(1)(2)可知，对一切n∈N+等式都成立.

【名师点评】利用数学归纳法证实时，两个步

骤缺一不可，步骤(1)是证实归纳基础，步骤(2)是证实主体，它反应了无限递推关系.

证实：(1)当n=1时，等式左边=2,

等式右边=2×1=2,

∴等式成立.

(2)假设n=k(k∈N+)等式成立，

即(k+1)(k+2)…(k+k)

=2k.1·3·5…(2k-1)成立.

变式训练1求证：(n+1(n+2)…(n+n)=

2n·1·3·5……(2n-1)(n∈N+).

那么n=k+1时，

(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=2(k+1)(k

+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)=2k+1.1·3·5……(2k—1)·[2(k+1)-1].

即n=k+1时等式也成立.

由(1)(2)可知对任何n∈N+等式均成立.

用数学归纳法证实几何问题

平面上有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，而且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成了f(n)=n²-n+2部分.

【思绪点拨】用数学归纳法证实几何问题，主要是搞清楚当n=k+1时比n=k时分点增加了多少，区域增加了几块，本题中第k+1个圆被原来k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就得到了处理.

【证实】(1)当n=1时，一个圆把平面分成两部

分，且f(1)=1-1+2=2,所以，n=1时命题成

立.

(2)假设n=k(k≥1)时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2部分.假如增加一个满足条件任一个圆，则这个圆必与前k个圆交于2k个点.这2k个点把这个圆分成2k段弧，每段弧把它所在原有平面分成为两部分.所以，这时平面被分割总数在原来基础上又增加了2k部分，即有

f(k+1)=f(k)+2k=k²—k+2+2k=(k+1)²-(k+1)

十2.

即当n=k+1时，f(n)=n²-n+2也成立.

依据(1)、(2),可知n个圆把平面分成了f(n)=n²-n+2部分.

【名师点评】相关诸如这类问题论证，关键在于分析清楚n=k与n=k+1时二者差异，这时经常借助于图形直观性，然后用数学式子给予描述，建立起f(k)与f(k+1)之间递推关系.

变式训练2平面内有n(n∈N+)条直线，其中任何

两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线

部分.

证明：(1)当n=1时，一条直线把平面分成两部分，而∴命题成立.

(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立，即k条直线把平

面分成个部分.

则当n=k+1时，即增加一条直线l,因为任何两条

直线不平行，所以l与k条直线都相交，有k个交点；又因为任何三条直线不共点，所以这k个交点不一样于k条直线交点，且k个交点也互不相同，如此k个交点把直线l分成k+1段，每一段把它所在平面区域分为两部分，故新增加了k+1个平面部分.

∴当n=k+1时命题也成立.

由(1)(2)可知当n∈N+时，命题成立.

∴f(k+1)=f(k)+k+1

用数学归纳法证实整除性

用