第六章解线性方程组的迭代法.ppt

第六章 解线性方程组的迭代法 6.1 引言 6.2 基本迭代法 6.3 迭代法的收敛性 6.4 分块迭代法 6.1 引言 本章介绍求解线性方程组 的迭代求解方 法，其中 ， 。假设 非奇 异，则方程组有唯一解 。 本章介绍迭代法的一些基本理论及Jacobi迭代法， Gauss-Seidel迭代法，超松弛迭代法等常用迭代法。 迭代法的例 例：用迭代法求解线性方程组： 记为： ，其中： 6.1 引言 已知其精确解为： 。现将方程组改写成如下的 等价形式： 迭代法的例 例：用迭代法求解线性方程组： 记为： ，其中： 6.1 引言 已知其精确解为： 。现将方程组改写成如下的 等价形式： 或写为 ，其中： 6.1 引言 由此建立迭代格式（公式）： 给定初始向量： ，则可得： 或写为 ，其中： 6.1 引言 由此建立迭代格式（公式）： 给定初始向量： ，则可得： 当 时，有： ，得近似解： ，由此可以看出由迭代法产生 的向量序列 逐步逼近方程组的精确解 。 6.1 引言 例2：考虑方程组： ，取初值 ， 则有： 可见不收敛。 因此，我们得到：对于任何一个方程组 ， 由迭代法产生的向量序列 不一定收敛。 当 时，有： ，得近似解： ，由此可以看出由迭代法产生 的向量序列 逐步逼近方程组的精确解 。 6.1 引言 例2：考虑方程组： ，取初值 ， 则有： 可见不收敛。 因此，我们得到：对于任何一个方程组 ， 由迭代法产生的向量序列 不一定收敛。 为做进一步研究，我们假设方程组 有唯一解 ，则 ， 又设 为任意初始向量，按下 列公式构造向量序列： 其中 表示迭代次数，我们给出如下的定义： 定义1：上述求解方法称为迭代法，如果 存 在，则称迭代法收敛，否则称为迭代法发散。 6.1 引言 为讨论收敛性，引进误差向量 ，从而可 得： ，递推得到： 要研究 的收敛性，就要研究 在满足什么条 件时有 ，实际就是 为做进一步研究，我们假设方程组 有唯一解 ，则 ， 又设 为任意初始向量，按下 列公式构造向量序列： 其中 表示迭代次数，我们给出如下的定义： 定义1：上述求解方法称为迭代法，如果 存 在，则称迭代法收敛，否则称为迭代法发散。 6.1 引言 为讨论收敛性，引进误差向量 ，从而可 得： ，递推得到： 要研究 的收敛性，就要研究 在满足什么条 件时有 ，实际就是 6.2 基本迭代法 设有方程组 ，其中 为非奇异矩阵 下面研究如何建立解方程组 的各种迭代法。 将 分裂为 ，其中 为可选择的非奇异矩 阵，且使 容易求解，一般选择为 的某种近似 称 为分裂矩阵。 于是，求解 转化为求解 ，即求解： 这样，可构造迭代法： 其中： 称 为迭代法的迭代矩阵