线性方程组的迭代法 (2).ppt

关于线性方程组的迭代法(2)第1页，共28页，星期日，2025年，2月5日引言线性方程组解法在数值分析中占有极其重要的地位。线性方程组解法大致分为两类：迭代法和直接法第2页，共28页，星期日，2025年，2月5日一、Jacobi迭代法1.Jacobi迭代法举例例：求解方程组其中精确解是x*=(1.1,1.2,1.3)T第3页，共28页，星期日，2025年，2月5日解：将原方程组改写为则迭代公式为：若选x(0)=(0,0,0)T,则迭代9次有x(9)=(1.09994,1.19994,1.29992)T这就是Jacobi迭代法！第4页，共28页，星期日，2025年，2月5日2.Jacobi迭代法一般形式由方程组的系数矩阵A非奇异，不妨设aii≠0，方程组变形为第5页，共28页，星期日，2025年，2月5日对应上述的方程组，可得迭代公式为其中x(k)为第k次迭代向量.Jacobi迭代法的一般公式第6页，共28页，星期日，2025年，2月5日3.Jacobi迭代法的矩阵形式将方程组记为Ax=b其中A非奇异且aii≠0(I=1,2,…,n).将A分裂为A=Ｌ+D+Ｕ其中第7页，共28页，星期日，2025年，2月5日由此可将变形过程用矩阵表示为Dx=-(L+U)x+b即x=D-1[b-(L+U)x]=D-1(-L-U)x+D-1b简记为x=Gx+f故Jacobi迭代公式的矩阵形式为第8页，共28页，星期日，2025年，2月5日二、Gauss-Seidel迭代法1.Gauss-Seidel迭代法举例例：求解方程组精确解是x*=(1.1,1.2,1.3)T第9页，共28页，星期日，2025年，2月5日解：将原方程组改写为则迭代公式为：若选x(0)=(0,0,0)T,则迭代6次有x(6)=(1.09999,1.19999,1.30000)T这就是Gauss-Seidel迭代法:认为最新计算出的分量可能比旧的分量要好些！第10页，共28页，星期日，2025年，2月5日2.Gauss-Seidel迭代法一般形式对应于变形方程组G-S迭代公式可写为：其中x(k)为第k次迭代向量.第11页，共28页，星期日，2025年，2月5日3.Gauss-Seidel迭代法的矩阵形式将方程组记为Ax=b其中A非奇异且aii≠0(I=1,2,…,n).将A分裂为A=Ｌ+D+Ｕ其中第12页，共28页，星期日，2025年，2月5日由此可将方程组的变形过程用矩阵表示为Dx=-(L+U)x+b这G-S迭代可表示为Dx(k+1)=-Lx(k+1)-Ux(k)+b整理得x(k+1)=D－1(b－Lx(K+1)－Ux(k))x(k+1)=-(D+L)－1Ux(k)+(D+L)－1b故G-S迭代公式的矩阵形式为第13页，共28页，星期日，2025年，2月5日注：对有些问题Gauss-Seidel迭代法确实比Jacobi迭代法收敛得快;但也有Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛得慢;甚至还有Jacobi迭代法收敛，而Gauss-Seidel迭代法发散的情形。第14页，共28页，星期日，2025年，2月5日三、超松弛法1.超松弛法的一般形式为了加速迭代过程的收敛，我们通过引入参数，在Gauss-Seidel迭代的基础上得到一种新的迭代法。将前一部的结果与高斯—赛德尔方法的迭代值适当加权平均，期望获得更好的近似值第15页，共28页，星期日，2025年，2月5日或合并表示为迭代加速具体计算公式如下：第16页，共28页，星期日，2025年，2月5日（i=1,2,…,n）可以把△x看作G-S迭代的修正项，即第k次近似解x(k)以此项修正后得到新的近似解x(k+1)=x(k)+△x松弛法是将△x乘上一个参数因子ω作为修正项而得到新的近似值，其具体公式为：记其中x(k+1)由G-S方法算出。于是有第17页，共28页，星期日，2025年，2月5