排列组合中的区域涂色问题.docx

排列组合中的区域涂色问题 排列组合中区域涂色问题 排列组合中的区域涂色问题技巧性强，方法灵活多变，一直是选修2-3中的教学难点问题。本文对部分常见区域涂色问题的解题规律做一下探讨。 区域涂色问题，应当从使用多少种颜色入手，分类讨论。再每一类中（若有必要），再根据两个不相邻区域是否同色分小类讨论。最后再根据分类加法计数原理求出所有方法种数。 例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？ ① ③ ② 4分析：当使用4中颜色涂色时，方法种数为A5；当使用3中颜色时，分两类：①④3同色或者②④同色，方法种数为2A5。可以这样给学生解释：①④同色，相当于①④合并3成了一个区域，这样的话原本的四个区域变成了3个区域，故涂色方法种数为A5。根据43分类分类加法原理，所有涂色方法总数为A5?2A5④ 。 例2、（2021年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意，可分为3种颜色或4中颜色两类。 ①当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，（相当于5个区 3A4域合并成了4个区域）故有种； 4A4②当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有种；若区域344AA与5同色，则区域2与4不同色，有4种，故用四种颜色时共有24种。最后，由加法34AA44原理可知满足题意的着色方法共有+2=24+2?24=72 3 2 1 4 1 5 例3、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 分析：可把问题分为三类： 4A5①涂四中颜色：四格涂不同的颜色，方法种数为； ②涂三种颜色：有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色， 122CA4； 5涂法种数为 2A5③涂两种颜色：两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为， 2122A?2CA?A?260 5545因此，所求的涂法种数为 2 1 4 3 例4、（2021江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。 分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： 4（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有A4； 4（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有A4； 4（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有A4； 4（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有A4； 4（5）②与④同色、③与⑥同色，则有A4； 4所以根据分类加法原理得涂色方法总数为5A4=120 ⑤ ⑥ ②① ④ ③ 例5、将一个四棱锥S?ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？ 分析：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？ D A 2 S C B 感谢您的阅读，祝您生活愉快。