三垂线定理8 PPT课件.ppt
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* 三垂线定理 a A P o α 复习: 什么叫平面的斜线、垂线、射影? 问: 如果a α, a⊥AO, 思考a与PO的位置关 系如何? a A P o α PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO 是PO在平面α内的射影. 三垂线定理 P a A o α 三垂线定理 已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线,AO是PO在平面α内的射影,且a α,a⊥AO求证: a⊥PO 在平面内的一条直线,如果和这个 平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。 已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线,AO是PO在平面α内的射影,且a α,a⊥AO 求证: a⊥PO P a A o α PO 平面PAO a⊥PO ③ PA⊥α a α ① PA⊥a AO⊥a ② a⊥平面PAO 证明: 线面垂直定义 判定定理 线面垂直定义 线面垂直 ① 线线垂直 ② 线面垂直 ③ 线线垂直 三垂线定理: P a A o α 若将条件中a⊥AO 与结论中a⊥ PO 交换是否还成立吗? 线射垂直 线斜垂直 三垂线定理 已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线,AO是PO在平面α内的射影,且a α,a⊥AO求证: a⊥PO 在平面内的一条直线,如果和这个 平面的一条斜线的 垂直,那么它也和这条 垂直。 射影 斜线 在平面内的一条直线,如果和这个 平面的一条 垂直,那么它也和这条斜线的 垂直。 P a A o α 已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线,AO是PO在平面α内的射影,且a α,a⊥PO求证: a⊥AO 斜线 射影 PA⊥α a α ① PA⊥a PO⊥a ② a⊥平面PAO AO 平面PAO a⊥AO ③ 在平面内的一条直线,如果和这 个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直。 三垂线逆定理: 线斜垂直 线射垂直 已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线,AO是PO在平面α内的射影,且a α,a⊥PO求证: a⊥AO P a A o α 三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果和这个 平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂 直。 在平面内的一条直线,如果和这 个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直。 三垂线逆定理: P a A o α 线射垂直 线斜垂直 线斜垂直 线射垂直 例题分析: 1、判定下列命题是否正确 (1)若b是平面α的斜线、直线a垂直于b在平面 α内的射影,则b⊥a。 ( ) (2)若b是平面α的斜线,a是平面α内的直线, 且a垂直于b在α内的射影,则b⊥a。 ( ) × √ 三垂线定理 三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果和这个 平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂 直。 在平面内的一条直线,如果和这 个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直。 三垂线逆定理: P a A o α 线射垂直 线斜垂直 线斜垂直 线射垂直 例1 如图;PA⊥面ABC,AB是圆O的直径。C是圆O上的任一点(异于A.B两点).则图中直角三角形的个数是( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 P C B A 例题分析 D 例2、如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,连结BD1,AC,CB1,B1A,求证:BD1⊥平面AB1C ∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD 又DD1⊥平面ABCD ∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的 射影 ∵AC在平面AC内,∴BD1⊥AC A1 D1 C1 B1 A D C B 而AB1, AC相交于点A且都在平面 AB1C内 ∴BD1⊥平面AB1C 证明:连结BD, 请同学思考:如何证明BD1⊥AB1? 连结A1B
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