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关于波函数的几点讨论

张敏

(华中师范大学物理科学与技术学院武汉430079)

摘要：本文主要介绍了波函数的产生及其物理意义，详细讨论了波函数的几个性质和它的三

个标准条件，阐述了波函数所满足的态的叠加原理。

关键词：波函数波函数的性质态的叠加原理

1引言

在量子力学中波函数是最基本的概念，理解波函数是建立量子观念的关键。波函数将微

观粒子的波动性与粒子性结合起来了，它本身不具有任何意义，它的意义在于波恩对它的统

计诠释，深刻地理解波函数的意义对以后量子力学的学习奠定了基础。

2波函数的引入

20世纪初，人们认识到微观粒子具有波粒二象性，但在如何具体描述微观粒子的状态

时遇到了困难。波粒二象性是微观粒子的本性，因此描述微观粒子状态的数学工具应该能反

映这种性质。

这里微观粒子所呈现出来的粒子性，只是经典粒子概念中的“原子性”，即总是以具有

一定的质量、电荷等属性的客体出现在自然界，而其呈现出的波动性是波最本质的东西——

“波的叠加性”。把微观粒子的波动性与粒子性统一起来的是波恩1926年提出的概率波，他

是在用薛定谔方程来处理散射问题时为解释散射粒子的角分布而提出来的。波恩认为德布罗

意提出的“物质波”，或薛定谔方程中的波函数所描述的，并不像经典波那样代表什么实在

的物理量在空间分布的波动，只不过是刻画粒子在空间的概率分布的概率波而已。

r

ψ（r）

在解释杨氏双缝实验衍射花样的强度分布时，用波函数描述衍射波的波幅，则

ψr2

衍射花样的强度分布用(r)描述，它是用来刻画电子出现在空间某一点附近的几率大小，

ψr2ΔxΔyΔz

即(r)ΔxΔyΔz代表点附近的小体积元中找到粒子的概率，这就是波恩提出的

波函数的几率诠释。因此，电子呈现出来的波动性反映了微观客体运动的一种统计规律性，

所以称为概率波，波函数也称为概率波幅。[1]

在非相对论情况下，几率波正确地把物质粒子的波动性与原子性统一起来了。如果我们

知道了描写微观体系的波函数，就可以得到粒子在空间任意一点出现的概率以及该系统的各

种特性和状态。微观体系的状态由波函数描述，这是量子力学的五大基本假设之一。

3波函数的性质

波函数本身没有意义，它的意义在于波恩对它的统计诠释。作为量子力学最基本的概念，

波函数具有以下性质：

（1）归一性

由波函数的统计诠释，很自然地要求微观粒子在空间各点出现的概率之和为1，即波函

数满足：∫ψ（r）d=1r2τ

全

上述归一化条件只有在粒子集中在有限区域内时才适用,这时称粒子处于束缚态或结

合态。自由粒子是一个以一定速度向某一方向运动的无头无尾的稳定粒子流，拓展到整个空

间。其波函数具有平面波的形式，是一种游离态,不满足上述归一化条件。因此，量子力学

r

rr

中并不排除使用某些不能归一化的理想的波函数，例如：平面波ψ（r）∝eip⋅r/h（动量本征

δψrδr

态），波包（r）∝(r)（位置本征态）

（2）常数因子的不定性

rr

对于概率分布来说，重要的是相对概率分布，如、两点的相对几率：

12

ψr2ψr2

c(r)(r)rr

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