曲线拟合 教学设计.doc

PAGE 1 任务3 曲线拟合 知识目标：熟悉关联函数的选择和线性化方法，了解线性最小二乘法。 能力目标：能用Excel将实验数据拟合成曲线。 ☆思考：何谓曲线拟合？ 数据处理的一项十分重要的工作是寻求相关量之间的内在规律，即由已知数据群确立经验或半经验的数学模型。常用的方法是将观测得到的离散数据标记在平面图上，这只是对一个变量情况而言，描成一条光滑曲线（也包括直线，或对数坐标下的直线等）。为了便于进一步分析运算，希望将曲线用一简单的数学表达式加以描述，这种将离散的数据描述成数学表达式的方法称曲线拟合，或者说经验建模。 一、关联函数的选择和线性化 实测数据关联成数学模型的方法一般有以下几种： ①具有一定的理论依据，可直接根据机理选择关联函数的形式。 如反应动力学方程通常表示为r=kCAn，其中反应速度常数k与温度T的关系符合阿累尼乌斯（S.A.Arrhenius）方程，k=k0exp(－E/RT)的形式。此法的关键在于确定上述公式中k、n、k0、E等未知系数，以使模型密切逼近实测数据。这种模型称为半经验模型，工作要点在于参数估计。 ②尚无任何理论依据，但已有一些经验公式可选择。 很多物性数据如热容、密度、饱和蒸气压等与温度的关系常表示为： f(T)=b0+b1T+b2T2+b3T3+b4lnT+b5/T 当然不一定上述公式中六个系数都很重要，有的物性也只取前三、四项即可满足精度要求，这样可使模型简单化。 ③没有任何经验可循的情况 对于此类情况，通常只能将实验数据画出图形与已知函数图形进行比较，选择图形接近的函数形式作拟合模型。 不论上述哪种情况，在选定关联函数的形式之后，就是如何根据实验数据去确定所选关联函数中的待定系数，最常用的方法是线性最小二乘法。此法可用于处理一元或多元的线性模型。 ☆思考：何谓最小二乘法？ 一元线性模型： Y=A+BX （1-3-1） 多元线性模型： Y=B0+B1X1+B2X2+…… （1-3-2） 对于一些非线性模型，应事先将其变换成线性形式，即线性化处理，然后再用线性最小二乘法进行关联。 表1-3-1列出了化工中常用的几种函数类型及线性化的方法。此表中所列均为单变量问题，经线性化处理后的线性模型均可统一用式（1-3-1）表示。 对于多变量函数关系 y=f(x1,x2,…) 若采用幂函数的乘积作为关联函数，即将上面的函数关系写成如下形式 y=ax1bx2c… （1-3-3） 可作如下线性化处理，令 Y=lny，X1=lnx1，X2=lnx2，…， B0=lna，B1=b，B2=c，… 经线性化处理后的模型即式（1-3-2）。 对于一元非线性化方程，如： y=a+bx+cx2+dx3… （1-3-4） 令 Y=y，X1=x，X2=x2，…， B0=a，B1=b，B2=c，… 经线性化处理后的模型也为式（1-3-2）。 表1-3-1 常用函数线性化方法 图 形 函数及线性化方法 图 形 函数及线性化方法 幂函数 y=axb 令 Y=lgy X=lgx A=lga B=b 则 Y=A+BX 对数函数 y=a+blgx 令 Y=y X=lgx A=a B=b 则 Y=A+BX 指数函数 y=aebx 令 Y=lny X=x A=lna B=b 则 Y=A+BX 双曲函数 1/y=a+b/x 令Y=1/y X=1/x A=a B=b 则 Y=A+BX 负指数函数 y=aeb/x 令 Y=lny X=1/x A=lna B=b 则 Y=A+BX S型曲线函数 y=a+be-x 令Y=y X=e-x A=a B=b 则 Y=A+BX 二、线性最小二乘法 关联函数的形式确定之后，如何由实验数据比较精确地去确定关联函数中的待定系数仍是一个重要问题，最常用的方法就是线性最小二乘法。 今有一弹簧秤，用它称重，记下荷重与弹簧伸长的关系如表1-3-2所示。 表1-3-2 弹簧荷重与弹簧伸长的关系 荷重xi(kg) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 长度yi(cm) 30.00 31.25 32.58 33.71 35.01 36.20 37.31 38.79 40.04 将数据点画在图1-3-1上，可以看出荷重与伸长两者大致呈直线关系。但并不严格在一条直线上，说明由于读数或其他影响因素造成数据包含有随机误差。根据力学上的虎克定律．弹簧伸长y应该与荷重x成正比，即y是x的线性函数，通过实验确定比例系数（弹簧的弹性系数）。一般地直线方程模型表示为 y￠＝a+bx （1-3-5） 如果用直尺将图1-3-1上的点连成直线，由于9个点不在一直线上，所以可以画出多条直线。也即式（1-3-5）线性