大连理工大学非线性分析作业.doc
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非线性分析作业3(Homework 3)
1.Given the ODE
(1) 1) Plot the bifurcation diagram and phase diagrams as F varies, and investigate the routes to chaos.
2) Compute the Lyapunov exponents, and plot the value as a function of F.
解：当=0.2时，外界激励F变化下的分岔图和Lyapunov指数，如下所示。
当=0.2，=1.2时，杜芬方程(1)的相图为：
当=0.2，=50时，杜芬方程(1)的相图为：
当=0.2，=150时，杜芬方程(1)的相图为：
当=0.2，=500时，杜芬方程(1)的相图为：
当=0.2，=800时，杜芬方程(1)的相图为：
2.For Hénon map
(2)
Investigate the bifurcation diagram for the Hénon mapby plotting the as a function of as give the analysis of the routes to chaos.
Compute the Lyapunov exponent spectrum of the Hénon map when and.
Use the OGY algorithm to stabilize the point of period one in the Hénon map when and.
解：1)当,时，横坐标为，纵坐标的分岔图如下：
由该分岔图可知，系统由单周期运动分岔进入两倍周期运动，再分岔进入四周期运动，由四周期运动进入混沌状态，首次进入混沌状态后可再次进入周期运动，最后又由周期运动进入混沌状态。
2)当时,系统Lyapunov指数最大值随变化如下图所示。这时，,Lyapunov指数最大值Lya_max不存在。
3.For the Rossler equation
(3)
Investigate the chaotic behavior by plotting the phase diagrams and the Poincare sections as vary.
解：(1)a=0.1时相图和y=0庞加莱截面如下：
a=0.2时相图和y=0庞加莱截面如下：
a=0.3时相图和y=0庞加莱截面如下：
a=0.38时相图和y=0庞加莱截面如下：
由以上几图可以看出，当参数b和c固定时，a增大时，任意周期的极限环的稳定性都将失去。这就是形成混沌（chaos）的必要条件。
(2)b=0.2时相图和y=0庞加莱截面如下：
b=0.8时相图和y=0庞加莱截面如下：
b=1.2时相图和y=0庞加莱截面如下：
b=1.6时相图和y=0庞加莱截面如下：
由以上几图可以看出，当参数c和a固定时，b减小时，任意周期的极限环的稳定性都将失去。这就是形成混沌（chaos）的必要条件。
(3)c=5时相图和y=0庞加莱截面如下：
c=10时相图和y=0庞加莱截面如下：
c=15时相图和y=0庞加莱截面如下：
c=25时相图和y=0庞加莱截面如下：
c=35时相图和y=0庞加莱截面如下：
由由以上几图可以看出，当参数a和b固定时，c增大时，任意周期的极限环的稳定性都将失去。这就是形成混沌（chaos）的必要条件。
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