第五章-图形变换之旋转.doc

第五章 图形变换之旋转 技巧提炼 1?旋转是中考压轴题中常见题型,在解这类题目时,什么时候需要构造旋转,怎么构造旋转?下面,就不同类型的旋转问题,给出构造旋转图形的解题方法: (1)遇中点,旋180°,构造中心对称; (2)遇90°,旋90°,造垂直; (3)遇60°,旋60°,造等边; (4)遇等腰,旋顶角? 综上四点得出旋转的本质特征:等线段,共顶点,就可以有旋转? 2?图形旋转后我们需要证明旋转全等,而旋转全等中的难点实际上是倒角?下面给出旋转常用倒角,只要是旋转,必然存在这两个倒角之一? 如图(a)所示,若∠AOB=∠COD,必有∠AOC=∠BOD,反之亦然? 如图(b)所示,若∠A=∠D,必有∠B=∠C? (a) (b) 例题精讲 例1 (1)如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′,图中阴影部分的面积为( ) A? B? C? D? (2)如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′,图中阴影部分的面积为_________? 例2 如图所示,E?F分别是正方形ABCD的边BC?DC上的点,且∠EAF=45°,求证:EF=BE+DF? 例3 如图所示,在△ABC的边AC,AB为一边,分别向三角形的外侧作正方形ACFG和正方形ABDE,连接EC交AB于点H,连接BG交CE于点M,求证:BG⊥CE? 例4如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,在四边形BDEC中,DB=DE,∠BDE=2α,M为CE的中点,连接AM,DM? (1)在图中画出△DEM关于点M成中心对称的图形; (2)求证:AM⊥DM; (3)当α=______,AM=DM? 例5 已知:在△ABC中,BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD?探究下列问题: (1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且∠ACB=60°,则CD=______; (2)如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且∠ACB=90°,则CD=______; (3)如图3,当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求CD的最大值及相应的∠ACB的度数? 例6 已知∠MAN,AC平分∠MAN? (1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,AB+AD_______AC?(填写“”,“”,“=”) (2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由? ⑶在图3中: ①若∠MAN=60°,∠ABC+∠ADC=180°,判断AB+AD与AC的数量关系,并说明理由 ②若∠MAN=α(0°α180°),∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=_______AC(用含α的三角函数表示,直接写出结果,不必证明) 例7 如图1所示,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA?OD到点F?E,使OF=2OA,OE=2OD,连接EF?将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1(如图2)? (1)探究AE1与BF1的数量关系,并给予证明? (2)当α=30°时,求证:△AOE1为直角三角形? 例8 (1)如图1,点E? F分别是正方形ABCD的边BC?CD上的点,∠EAF=45°,连接EF, 则EF?BE?FD之间的数量关系是:EF=BE+FD?连结BD,交AE?AF于点M?N,且MN?BM?DN满足MN2=BM2+DN2,请证明这个等量关系; (2)在△ABC中,AB=AC,点D? E分别为BC边上的两点? ①如图2,当∠BAC=60°,∠DAE=30°时,BD?DE?EC应满足的等量关系是___________; ②如图3,当∠BAC=α,(0°α90°),∠DAE=α时,BD?DE?EC应满足的等量关系是_____________? 牛刀小试 1?如图5-11所示,△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的,则这点的坐标是_________? 2?如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D是BC上的任意一点,探究:BD2+CD2与AD2的关系,并证明你的结论? 3?已知:△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5?求:∠APB的度数 4?如图1,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,E恰为BC的中点,tanB=2? (1)求证:AD=AE; (2)如图2,点P在线段BE上,作EF⊥DP于点F,连接AF,求证:DF?EF=AF; (3)请你在图3中画图探究:当P为射线EC上任意一点(P不与点E重合)时,作EF⊥DP于点F,连接AF,线段DF?E