2021届中考数学压轴大题押题含答案.pdf

2021年中考数学压轴题

1．城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按

直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两

点A（x，y）B（x，y），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x﹣x|+|y﹣

1122121

y|．2

[数学理解]

（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝3．

②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则

点B的坐标是（1，2）．

4

（2）函数y=（x＞0）的图象如图②所示．则该函数的图象上不存在点C（填是

否存在），使d（O，C）＝3．

（3）函数y＝x﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，则d（O，D）的2

最小值是3，此时对应的点D的坐标是（2，1）．

[问题解决]

（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到

某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适

当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）

解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；

②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3，

∵0≤x≤2，

∴x+y＝3，

∴{+=3，

=−2+4

解得：{=1，

=2

∴B（1，2），

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故答案为：3，（1，2）；

4

（2）假设函数y=（x＞0）的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，

4

根据题意，得|x﹣0|+|−0|＝3，

∵x＞0，

444

＞−0|＝x+

∴0，|x﹣0|+|，

4

∴x+=3，

∴x2+4＝3x，

∴x﹣3x+4＝0，2

∴△＝b﹣4ac＝﹣7＜0，2

∴方程x﹣3x+4＝0没有实数根，2

∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．

故答案是：不存在；

（3）设D（x，y），

22

根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x﹣5x+7|，

53

∵x﹣5x+7＝（x−）22+＞0，

24

又x≥0，

∴d（O，D）＝|x|+|x﹣5x+7|＝x+x﹣5x+7＝x﹣4x+7＝（x﹣2）2222+3，

∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．

故答案是：3；（2，1）．

（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝

﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，

设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，

再沿HE方向修建到E处．

理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过

点P作直线l∥l，l与x轴相交于点G．

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∵∠EFH＝45°，

∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF，

同理d（O，P）＝OG，

∵OG≥OF，

∴d（O，P）≥d（O，