空间向量及其加减法讲解.ppt

* * * * * 空间向量及其加减法 与数乘运算 莆田科技学校 童 斌 复习回顾：平面向量 1、定义： 既有大小又有方向的量叫做向量。 几何表示法:用有向线段表示 字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量：长度相等且方向相同的向量 A B C D 2、平面向量的加法、减法与数乘运算 向量加法的三角形法则 向量加法的平行四边形法则 向量减法的三角形法则 a － b a ＋ b a (k0) k a (k0) k 向量的数乘 a a A B b C a A B b D C a A B b C a ＋ b 3、平面向量的加法、减法与数乘运算律 加法交换律： 加法结合律： 数乘分配律： 推广: （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 新课讲授 阅读教材P26 ，研究空间向量与平面向量的关系,回答 下面的问题： （1） 试说出：空间向量与平面向量有何共同之处？ （2） 如何理解空间的一个“平移”就是一个向量？ （3） 空间任意两个向量是否都可以将它们平移到同 一个平面当中？ （4）把平面向量的运算推广到空间向量， 怎么定义空间向量的加法，减法及数乘向量运算？ （5）空间向量的运算律有哪些？ （6）从平面和空间两个角度验证向量加法结合律? 在空间，具有大小和方向的量叫做向量；用 有向线段表示；并且同向且等长的有向线段 表示同一向量或相等的向量。 （1） 试说出：空间向量与平面向量有何共同 之处？ A B C D （2） 如何理解空间的一个“平移”就是一个向量？ 因为空间的一个“平移”有大小和方向，所以是 一个向量。 例如：“平行四边形ABCD自西向东平移4个单位长度”到达A1B1C1D1的位置。 D C A B C1 D1 B1 A1 这个“平移”就 是一个向量。 =“自西向东平移4个单位长度” （3） 空间任意两个向量是否都可以将它们 平移到同一个平面当中？ 由O、A、B、三点确定一个平面 或共线可知， 已知空间两个任意向量 、 作 O A B 空间任意两个向量都 可用同 一平面内的有向线段表示。 a b a b O A B b 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。 思考：它们确定的平面是否唯一？ 思考：空间任意两个向量是否可能异面？ O A C B （4）与平面向量运算一样，我们定义 空间 向量的加法、减法与数乘向量运算如下： 加法交换律： 加法结合律： 数乘分配律： （5）同样，空间向量的加法与数乘向量运 算满 足如下运算律： a b c O B C a b + a b c O B C b c + (平面向量) （6）平面向量加法结合律： a b + c + ( ) a b + c + ( ) A A a b c O A B C a b + a b c O A B C b c + （6）空间向量加法结合律： (空间向量) a b + c + ( ) a b + c + ( ) 例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图) A B C D A1 B1 C1 D1 A B C D A1 B1 C1 D1 M (4)设M是线段CC1的中点,则 (3)设G是线段AC1的三等分点,则 G A B M C G D 练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简 * * *