关于一个半线性椭圆方程解的存在性定理.doc

关于一个半线性椭圆方程解的存在性定理 张 辉 广东外语外贸大学南国商学院，广州，510545 摘要：本文证明了一个关于方程非平凡解的存在性的定理，拓宽了现有的定理。 关键词：弱解，半线性 中国分类号：O175.29 A solvability theorem of semilinear elliptic equtions Zhang Hui (GuangDong universtiy of forigen and trade ,NanGuo ,GuangZhou 510545) Abstract:In this paper,we give a theorem about ,this result broadened our vision and knowledge about that equations. Keywords: weak solution; semilinear elliptic eqution 众所周知，如下的半线性椭圆方程，（1.1）如果是一个有界的星型区域，且边界足够光滑，则方程的解有如下的结论： 结论1：若，则方程（1.1）存在非平方的解，若，则方程（1.1）只有平凡解。【参见文献1】 从这个事实中，我们知道方程（1.1）的解和的取值范围有关，而的取值范围又和定义域所在的维数有密切的关系。通过研究，我们发现当维数很大的时候在一定的条件下，方程解的存在性具有独立性，即不依赖.在本文我们将证明如下一个结论： 假设是一个有界区域，且边界足够光滑，，并且我们取，则我们有如下的定理： 定理：若存在一个常数，使得，，则方程（1.1）存在非平凡的解. 我们知道，对于，由椭圆方程的理论知道是紧算子。 我们令，则是连续的，我们考虑如下的函数 ，我们知道它是如下Poission方程的解： 引理1：我们取，则，且有界 证明：任取，则只要足够大，有，而，由椭圆方程的性质，我们知道.由于，所以有，显然是有界的。 由和引理1，我们知道还是紧的，由Schauder不动点定理知道存在一个不动点。 参考文献 L.C.Evans,Partial Differential Equations. Springer ,New York,1998. 伍卓群 尹景学 王春鹏 椭圆与抛物方程引论 ?科学出版社 2003