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授课时间 第 十三周 第 1/2 次课 授课章节 6.2环合域 任课教师 及职称 唐新华 讲师 教学方法 与手段 板书和电子课件结合 课时安排 2课时 使用教材和 主要参考书 1、教材： 耿素云等，离散数学，清华大学出版社，2008 2.参考书 左孝琳、李为槛、刘永才，离散数学（上海科技文献版）2006 教学与目的要求： 1、判别给定代数系统是否为环、交换环、含幺环、无零因子环、整环和域； 2、了解环的运算性质, 能进行环中的运算； 3、能判别环的子集是否为子环； 4、能判别映射φ是环R1到R2的同态映射。 教学重点、难点: 重点：环的定义及其运算规则、子环、交换环、含幺环、无零因子环、整环。 难点：环的同态、整环和域 教学内容: 6.3 格与布尔代数 一、本节主要内容 格的定义与实例 格的性质 对偶原理 交换律、结合律、幂等律、吸收律 格的等价定义 子格 格的同构 特殊的格：分配格、有界格、有补格、布尔格 二、教学内容 格的定义 定义 设S, ?是偏序集，如果(x,y?S，{x,y}都有 最小上界和最大下界，则称S关于偏序?构成一个格。 由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求{x,y} 的最小上界和最大下界看成 x 与 y 的二元运算∨和 ∧，即 x∨y 和 x∧y 分别表示 x 与 y 的最小上界和 最大下界. 注意：这里出现的∨和∧符号只代表格中的运算， 而不再有其他的含义.? 格的实例 例 设n是正整数，Sn是n的正因子的集合. D为 整除关系，则偏序集Sn,D构成格.(x,y∈Sn， x∨y 是 lcm(x,y)，即 x 与 y 的最小公倍数. x∧y 是 gcd(x,y)，即 x 与 y 的最大公约数. 下图给出了格S8,D，S6,D和S30,D. 格的实例（续） 例 判断下列偏序集是否构成格，并说明理由. (1) P(B),( ，其中P(B)是集合B的幂集. (2) Z, ≤，其中Z是整数集，≤为小于等于关系. (3) 偏序集的哈斯图分别在下图给出. 格的性质：对偶原理 定义 设 f 是含有格中元素以及符号=,? ,? ,∨和∧的 命题. 令 f*是将 f 中的?替换成?,?替换成?,∨替换成 ∧,∧替换成∨所得到的命题. 称 f* 为 f 的对偶命题. 例如, 在格中： f 是 (a∨b)∧c?c, f* 是 (a∧b)∨c?c . 格的对偶原理：设 f 是含格中元素以及符号=,?,?,∨ 和∧等的命题. 若 f 对一切格为真, 则 f 的对偶命题 f*也对一切格为真. ? 例如, 若对一切格L都有 (a,b∈L, a∧b?a，那么对一 切格L都有 (a,b∈L, a∨b?a 格的性质：算律 定理 设L, ?是格,则运算∨和∧适合交换律、结 合律、幂等律和吸收律,即(1) (a,b∈L 有 a∨b=b∨a, a∧b=b∧a(2) (a,b,c∈L 有 (a∨b)∨c=a∨(b∨c), (a∧b)∧c=a∧(b∧c)(3) (a∈L 有 a∨a=a, a∧a=a(4) (a,b∈L 有 a∨(a∧b)=a, a∧(a∨b)=a 算律的证明 证 (1) 交换律. a∨b 是 {a,b} 的最小上界 b∨a 是 {b,a}的最小上界 { a, b } = { b, a } ( a∨b = b∨a. 由对偶原理, a∧b = b∧a 得证. 算律的证明（续） (2) 结合律. 由最小上界的定义有 (a∨b)∨c?a∨b?a (I) (a∨b)∨c?a∨b?b  (II) (a∨b)∨c?c  (III) 由式 (II) 和 (III) 有 (a∨b)∨c?b∨c  (IV) 由式 (I) 和 (IV) 有 (a∨b)∨c?a∨(b∨c). 同理可证 (a∨b)∨c ? a∨(b∨c). 根据偏序的反对称性得到 (a∨b)∨c = a∨(b∨c). 由对偶原理, (a∧b)∧c = a∧(b∧c) 得证. 算律的证明（续） (3) 幂等律. 显然 a ? a∨a,