2.2.1对数及其运算(第一课时)2012.10.13上课使用.ppt

* * 问题提出 问题提出 2.截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？到哪一年我国的人口数将达到18亿、21亿？ 13× (1＋1％)x＝18，求x=? 13× (1＋1％)20＝16， 13× (1＋1％)x＝21，求x=? 已知底数和幂的值，求指数. (2) 13× (1＋1％)x＝18,即: 1.01x=18/13,求x=? 3、上面的实际问题归结为一个什么数学问题？ 2.2.1 对数与对数运算 对 数 （第一课时） 一般地，如果 定义： 那么数 叫做 以 为底 N的对数，记作 , 叫做对数的底数，N叫做真数。 叫作指数式， 叫作对数式， 说明：(1) 我们把 由定义知两者是等价的，即： 思考：N的范围？ 对应的运算 N b a 表达形式 ab=N =a 幂的 底数 方根 对数的 底数 指数 根指数 对数 幂值 被开方数 真数 乘方， 由a，b求N 开方， 由N，b求a 对数， 由a，N求b （2）比较指数式、根式、对数式： （1）开方运算、对数运算都是指数运算的逆运算。 （2）弄清对数式与指数式的互换是掌握对数意义及运算的关键 （3）对数式的引入，给出了用对数值来表示幂指数 的方法。 试把下列式中的x表示出来: 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数，即以e为底的对数叫自然对数。 为了简便，N的自然对数 简记作lnN。 例如： 简记作ln3 ; 简记作ln10 （5）自然对数： (4)通常把以10为底的对数叫常用对数， 并把 简记作 例如： 简记作lg5； 简记作lg3.5. (1) 你能把下列指数式写成对数式？ （2） 这样的对数 有意义吗？ 没有意义 没有意义，不成立 （3） 从（2）中你能得出什么结论？ 重要结论：零和负数没有对数 （4） 请把下列各指数式写成对数式 1的对数等于0， 底的对数等于1， 中的N用 把式子 代换， (5)如果把式子 代换， 中的x用 会得到什么样的式子？ 这两个式子，我们叫对数恒等式 会得到什么样的式子？ 对数的基本性质： （1） 零和负数没有对数 （2） 1的对数等于0，即 （3） 底的对数等于1，即 说明： （1）在对数式 中， 要注意各量的取值范围 （2） 两个最特殊的对数值， 常用来化简对数式。 且 （4） 对数恒等式 （3）对于 一些特殊的对数式，可以用对数恒等式 直接求解。 例1 将下列指数式写成对数式： （1） （4） （3） （2） （1） （4） （3） （2） 例2 将下列对数式写成指数式： 指数式与对数式的互化要注意什么？ 若是指数式化为对数式，关键是看清指数是几，再写成对数式， 若是对数式化为指数式，则要看清真数是几，再写成幂的形式，关键是要搞清N与x在指数式与对数式中的位置，千万不要大意，其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据。 例3计算： （1） （2） 解法一： 解法二： 设 则 解法一： 解法二： 设 则 即 即 对数恒等式 解法一是利用定义求解 解法二是利用对数恒等式 （3） 解：因为 所以 （4） 解: 因为 所以 又因 所以 （6） （5） 例3计算： 解法一： 解法二： 解法二： 解法一： 因为 则 因为 则 利用对数的定义求式子的值，首先要设成对数式，再转化为指数式或指数方程求解；另外利用对数恒等式可直接求解，所以有两种解法。 于是 因为 于是 即 于是 因为 于是 所以 定义：一般地，如果 ，那么数 b叫做 以a为底 N的对数，记作 a叫做对数的底数，N叫做真数。 自然对数： 对数的基本性质： （1） 零和负数没有对数 （2） 1的对数等于0，即 （3） 底的对数等于1，即 （4）对数恒等式 以10为底的对数叫常用对数， 常用对数: 以无理数e=2.71828…… 为底的对数 叫自然对数 记作lnN。 记作 p74 A组第1.2题 64页练习题